2018年高考数学二轮复习第二部分专题二数学传统文化的创新应用问题习题

专题二 数学传统文化的创新应用问题

一、选择题

1．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )

A．91 C．120

B．105 D．210

解析：由题意得，从上往下第n层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n＝

nn＋1

2

.∴1＋3＋6＋…＋

nn＋1

21?1即?n2?6

＝680，

n＋1

1

2n＋1＋n2

1

n＋1??＝n(n＋1)(n＋2)＝680，∴n(n＋1)(n＋2)＝

?

6

15×16×17，∴n＝15.

14×15

故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为＝105.

2答案：B

2．《张丘建算经》卷上第23题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？意思是：现有一女子善于织布，若第1天织5尺布，从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织930尺布(注：1匹＝10丈，1丈＝10尺)，则每天比前一天多织( ) 4

A.尺布 78

C.尺布 15

B.D.52

尺布 2916

尺布 31

30×2952

解析：设公差为d，则由a1＝5，S30＝30×5＋d＝930，解得d＝. 229答案：B

3．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 1111

第一步：构造数列1，，，，…，. 234n第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an. 则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于( ) A．n C．n(n－1)

2

B．(n－1) D．n(n＋1)

2

11nnnnnn2?1? ＋＋…＋解析：a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·＝n?n－1n?1223n－1n?1·22·3?11111n－12?2

－?＝n?1－＋－＋…＋＝n·＝n(n－1)． ?n－1n?n?223答案：C

4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公316

式d≈ V.人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最

9精确的一个是( ) 316

A．d≈ V

93300

C．d≈ V

157

3

B．d≈ 2V 321

D．d≈ V

11

36163003

解析：由球体积公式得d＝ V≈1.909 860 93V.因为≈1.777 777 78，≈1.910 828

π915721216

03，≈1.909 090 91.而最接近于，所以选D.

1111π答案：D

5．(2016·河西五市二联)我国明朝著名数学家程大位在其名著《算法统宗》中记载了如下数学问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯，”诗中描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，那么塔顶有________盏灯．( ) A．2 C．5

B．3 D．6

解析：本题可抽象为一个公比为2的等比数列{an}．∵S7＝即塔顶有3盏灯，故选B. 答案：B

a11－27

1－2

＝381，∴可解得a1＝3，

6．(2017·武汉调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方

寸)，则图中的x为( )

A．1.2 C．1.8

B．1.6 D．2.4

1

解析：该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为

212

5.4－x、3、1的长方体，∴组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·()×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其

2中π＝3)，解得x＝1.6.故选B. 答案：B

7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )

(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈A．600立方寸 C．620立方寸

5

) 13

B．610立方寸 D．633立方寸

2

2

2

解析：连接OA，OB，OD，设⊙O的半径为R，则(R－1)＋5＝R，∴R＝13.sin∠AOD＝＝∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈×10×12≈6.33平方寸．

∴该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.

π

.∴S4

＝SAD5

.∴

AO13

弓形ACB扇形OACB1π12

－S△OAB＝××13－

242

答案：D

8．(2017·石家庄模拟)李冶( 1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算) ( ) A．10步，50步 C．30步，70步

B．20步，60步 D．40步，80步

2

2

解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)－3r＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B. 答案：B 二、填空题

9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

??a1＋a2＋a3＋a4＝3，解析：设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意?

??a7＋a8＋a9＝4，

??4a1＋6d＝3，

即???3a1＋21d＝4，

??

解得?7

d＝??66，67答案： 66

a1＋7d＝，43

42167

则a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝－＝.

36666

10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．

解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2 406*

016，解得n≤，又n∈N，故此数列的项数为135.

3答案：135

11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：