(word完整版)4高三导数综合复习题经典习题

【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．

27．已知f（x）＝sinx+2x，x∈R，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则a的取值范围是 a＜﹣1 ． 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，推出函数的奇偶性，即可转化不等式为一次不等式，求出a的范围．

【解答】解：因为f（x）＝sinx+2x，x∈R，而f（﹣x）＝sin（﹣x）+2（﹣x）＝﹣sinx﹣2x＝﹣f（x）， 所以函数的奇函数；

又f′（x）＝cosx+2＞0，所以函数是增函数，

所以f（1﹣a）+f（2a）＜0，化为f（1﹣a）＜﹣f（2a）＝f（﹣2a）， 所以1﹣a＜﹣2a，解得a＜﹣1． 故答案为：a＜﹣1．

【点评】本题是基础题考查函数的单调性、奇偶性的判断与应用，考查计算能力． 28．设函数f（x）＝ax2+b（a≠0），若

，则x0＝

．

【分析】根据定积分公式，求出f（x）的原函数F（x），通过计算F（2）﹣F（0）得到

，再结合题意列出等式

得到

．

，其中c

，采用比较系数法，

【解答】解：∵为常数

∴2f（x0）＝2（ax02+b）＝从而2∵x0＞0 ∴故答案为：

，得

【点评】本题多项式函数为例，考查了定积分的求法和比较系数法求字母参数的值，属于中档题．

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29．已知函数f（x）＝﹣或2＜t＜3 ．

+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是 0＜t＜1

【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x+4﹣，再由“函数

上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在区间[t，t+1]上有解”从而有

在[t，t+1]

在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究． 【解答】解：∵函数∴f′（x）＝﹣x+4﹣ ∵函数

在[t，t+1]上不单调，

∴f′（x）＝﹣x+4﹣＝0在[t，t+1]上有解 ∴

在[t，t+1]上有解

∴g（x）＝x2﹣4x+3＝0在[t，t+1]上有解

∴g（t）g（t+1）≤0或

∴0＜t＜1或2＜t＜3． 故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．

【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．

30．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R

上恒成立，则a的取值范围是 ﹣≤a≤2

【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，

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去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．

【解答】解：函数f（x）＝，

当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立， 即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3， 即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，

由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为则﹣

≤a≤

；…①

，

；

当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立， 即为﹣（x+）≤+a≤x+， 即有﹣（x+）≤a≤+， 由y＝﹣（x+）≤﹣2由y＝x+≥2则﹣2

≤a≤2；…②

≤a≤2；

≤a≤2．

＝﹣2

（当且仅当x＝

＞1）取得最大值﹣2

；

＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．

由①②可得，﹣

综上，a的取值范围是﹣故答案为：﹣

≤a≤2．

【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题． 三．解答题（共10小题） 31．已知函数

（1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在

成立，求整数a的最小值． ．

【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质通过讨论a的范围判断函数的单调

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性即可；

（2）问题转化为存在x＞1，使据函数的单调性求出a的最小值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，x＞0，方程﹣x2+x﹣a＝0对应的△＝1﹣4a， 当△＝1﹣4a≤0，即

时，当x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，

，

成立．设

，x＞1，根

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减； …（2分） 当且

此时，f（x）在在分） 当a≤0时，此时当当

综上：当a≤0时，当当在当

时，f（x）在

，

，

，f（x）单调递增，

时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； …（6分）

，f（x）单调递增，

时，f（x）单调递减；

上单调递增，

上单调递减；

时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； …（7分）

时，方程﹣x2+x﹣a＝0的两根为

，

上f'（x）＞0，函数f（x）单调递增， 上f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；…（4

，

（2）原式等价于（x﹣1）a＞xlnx+2x﹣1， 即存在x＞1，使设

，x＞1，

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成立．