(word完整版)4高三导数综合复习题经典习题

存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是 [1，e2﹣2] ．

【分析】由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx?﹣a＝2lnx﹣x2在[，e]上有解，构造函数f（x）＝2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．

【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx?﹣a＝2lnx﹣x2在[，e]上有解． 设f（x）＝2lnx﹣x2，求导得：f′（x）＝﹣2x＝∵≤x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点， ∵f（）＝﹣2﹣

，f（e）＝2﹣e2，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f（），

，

故方程﹣a＝2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1． 从而a的取值范围为[1，e2﹣2]． 故答案为：[1，e2﹣2]

【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2＝﹣2lnx?﹣a＝2lnx﹣x2在[，e]上有解．

23．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）＝4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为 （0，e） ．

【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣3x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论．

【解答】解：设t＝lnx，

则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1， 设g（x）＝f（x）﹣3x﹣1， 则g′（x）＝f′（x）﹣3， ∵f（x）的导函数f′（x）＜3，

∴g′（x）＝f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减， ∵f（1）＝4，

∴g（1）＝f（1）﹣3﹣1＝0， 则当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，

即g（x）＜0，则此时g（x）＝f（x）﹣3x﹣1＜0， 即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，

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即f（t）＞3t+1的解为t＜1， 由lnx＜1，解得0＜x＜e，

即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e）， 故答案为：（0，e）．

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．

24．已知f（x）＝ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣2） ．

【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．

【解答】解：（i）当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1，令f（x）＝0，解得x＝（x）有两个零点，舍去．

（ii）当a≠0时，f′（x）＝3ax2+6x＝3ax（x+），令f′（x）＝0，解得x＝0或﹣． ①当a＜0时，﹣＞0，当x＞﹣或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增． ∴故x＝﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点． ∵函数f（x）＝ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0，且x0＜0，则f（﹣）＝﹣＝

﹣1＜0，

+

﹣1，函数f

即a2＞4得a＞2（舍）或a＜﹣2．

②当a＞0时，﹣＜0，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增； 当﹣＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减． ∴x＝﹣是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点． ∵f（0）＝﹣1＜0，

∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件． 综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）．

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【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

25．已知函数f（x）＝x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，

的取值范围是 [，] ．

【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和

的几何意义即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）＝x+sinx（x∈R）， ∴f（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x）， 即f（x）＝x+sinx（x∈R）是奇函数， ∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，

∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）＝f[﹣（x2﹣4x+1）]， 由f'（x）＝1+cosx≥0， ∴函数单调递增．

∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1）， 即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0， ∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1， ∵y≥1，

∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．

的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围． 设k＝

，（k＞0）

则y＝kx+k，即kx﹣y+k＝0．

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当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝1，

即8k2﹣6k＝0，解得k＝．此时直线斜率最大．

当直线kx﹣y+k＝0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小， 此时3k﹣1+k＝0，即4k＝1，解得k＝， ∴≤k≤， 故答案为[，]．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想． 26．已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，对任意的x1、x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则实数a的取值范围为 [e，+∞） ．

【分析】对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣1，而|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可． 【解答】解：f′（x）＝axlna+2x﹣lna＝（ax﹣1）lna+2x， 当a＞1时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0， 此时f′（x）≥0； f（x）在[0，1]上单调递增，

f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna， 而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna， 由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e， 故答案为：[e，+∞）．

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