(word完整版)4高三导数综合复习题经典习题

17．已知函数值范围是（ ） A．

B．

，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取

C．（0，2] D．[2，+∞）

【分析】由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞） ∴f′（x）＝

+

﹣k＝

，

∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点 ∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根， ∴ex﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点， 即k＝

在x＞0上无变号零点，令g（x）＝

，

因为g'（x）＝，

所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增 所以g（x）的最小值为g（2）＝所以必须k≤故选：A．

【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．

18．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f′（x）＝ex（2x+3）+f（x）（e是自然对数的底数），f（0）＝1，若不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（ ） A．[﹣，0）

B．[﹣

，0]

C．（﹣

，0]

D．（﹣

，0）

，

，

【分析】令G（x）＝，可得G′（x）＝

＝2x+3，可设G（x）＝x2+3x+c，

G（0）＝f（0）＝1．解得c＝1．

第17页（共41页）

f（x）＝（x2+3x+1）ex，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出． 【解答】解：令G（x）＝x2+3x+c，

∵G（0）＝f（0）＝1．∴c＝1． ∴f（x）＝（x2+3x+1）ex，

∴f′（x）＝（x2+5x+4）ex＝（x+1）（x+4）ex． 可得：x＝﹣4时，函数f（x）取得极大值，x＝﹣1时， 函数f（x）取得极小值．

f（﹣1）＝﹣，f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣∴

＜0，f（﹣3）＝

＞0．

，则G′（x）＝

＝2x+3，可设G（x）＝

＜k≤0时，不等式f（x）﹣k＜0的解集中恰有两个整数﹣1，﹣2．

．

故k的取值范围是故选：C．

【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二．填空题（共12小题）

19．设函数f（x）＝lnx++2a，x∈[，a]，若函数f（x）的极小值不大于+2，则a的取值范围为 （1，]

【分析】由函数的定义域可得a＞0且a＞，再根据函数的单调性和极小值不大于+2可得1+2a≤+2，联合求解可得a的范围．

第18页（共41页）

【解答】解：函数f（x）＝lnx++2a，x∈[，a]，函数的定义域为：（0，+∞）， 所以：a＞0且a＞， 解得：a＞1；①

若函数f（x）的极小值不大于+2， 所以：f′（x）＝﹣

＝

，

当x∈（0，1），f′（x）＜0，函数f（x）在区间单调递减； 当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）在区间单调递增； 所以函数f（x）的极小值不大于+2， 即：f（1）＝1+2a≤+2， 2a﹣﹣1≤0，

≤0；

即：2a2﹣a﹣3≤0， 解得：﹣1≤a≤；②

由①②可得：a的取值范围为：（1，]； 故答案为：（1，]；

【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题． 20．若函数f（x）＝ex﹣ax2有极值点，则a的取值范围是

．

【分析】求出f'（x）＝ex﹣2ax，则方程ex﹣2ax＝0有根，在同一坐标系中作出函数y＝ex和y＝2ax的图象，通过当直线y＝2ax和曲线y＝ex相切时，设切点为P（x0，y0），则

，求解即可．

【解答】解：由题可知，函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex﹣2ax，则方程ex﹣2ax＝0有根，且方程的根是f'（x）的异号零点，在同一坐标系中作出函数y＝ex和y＝2ax

第19页（共41页）

的图象，如图所示，当直线y＝2ax和曲线y＝ex相切时，设切点为P（x0，y0），则

，

解得，由图可知．

故答案为：

．

【点评】本题考查导数与极值问题，考查化归与转化、函数与方程的思想以及运算求解能力和推理论证能力．

21．已知曲线（fx）＝x3在点（1，（f1））处的切线的倾斜角为α，则的值为

．

【分析】求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．

【解答】解：因为：曲线f（x）＝x3．

所以：函数f（x）的导函数f′（x）＝2x2，可得：f′（1）＝2， 因为：曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α， 所以：tanα＝f′（1）＝2， 所以：

＝

＝

＝．

故答案为：．

【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化简求值，属于基础题．

22．已知函数g（x）＝a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上

第20页（共41页）