(word完整版)4高三导数综合复习题经典习题

当＜a＜1时，唯一整数解为﹣1，应满足

求出a的取值范围．

【解答】解：由题意得，f′（x）＝ex﹣a＝0在（﹣1，1）上有解， ∵f′（x）在（﹣1，1）上单调递增，∴＜a＜e，

又∵f（x）＜0恰好有唯一整数解，即ex＜ax+1有唯一整数解． 设g（x）＝ex，h（x）＝ax+1，结合题意可知： ①若1＜a＜e，则唯一整数解为1， 故应满足

由此能

∴e﹣1＜a≤故e﹣1＜a＜e；

，

②若＜a＜1，则唯一整数解为﹣1，

故应满足

∴故

≤a＜≤a＜

， ．

由①②得a的取值范围为[故选：D．

，）∪（e﹣1，e）．

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是难题． 6．已知函数A．

B．

有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）

C．

D．（0，+∞）

【分析】求出函数的定义域，函数的导数，求出函数的极值点，以及函数的单调性，结合函数的最值，求解m的范围即可．

第9页（共41页）

【解答】解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝x+（m+1）ex．

因为函数f（x）有两个极值点，所以f'（x）＝x+（m+1）ex有两个不同的零点， 故关于x的方程令

，则

有两个不同的解，

，

当x∈（﹣∞，1）时，g'（x）＞0， 当x∈（，1+∞）时，g'（x）＜0，所以函数在区间（1．+∞）上单调递减， 又当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞； 当x→+∞时，g（x）→0，且所以故选：B．

【点评】本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．

7．已知函数f（x）＝x2+2alnx+3，若?x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），?a∈[2，3]，＜2m，则m的取值范围是（ ） A．[﹣2，+∞）

B．

C．

D．

，

，故

，

在区间（﹣∞，1）上单调递增，

【分析】设x1＞x2，把＜2m转化为f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，记g

（x）＝f（x）+2mx，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，故g'（x）≥0在[4，+∞）上恒成立，转化为即可求得m的范围． 【解答】解：设x1＞x2，由

＜2m，得f（x1）+2mx1＞f（x2）+2mx2，

在[4，+∞）上恒成立，求出函数

在[4，+∞）上的最大值

记g（x）＝f（x）+2mx，则g（x）在[0，+∞）上单调递增， 故g'（x）≥0在[4，+∞）上恒成立， 即

在[4，+∞）上恒成立，整理得

第10页（共41页）

在[4，+∞）上恒成立，

∵a∈[2，3]，∴函数∵?a∈[2，3]，∴故选：D．

在[4，+∞）上单调递增，故有

，即

．

，

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．

8．若函数f（x）＝ex﹣ax2在区间（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则实数a的取值范围是（ ） A．a

B．a＞e

C．a≤e

D．a

【分析】求出函数的导数，问题转化为y＝ex和y＝2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y＝2ax和y＝ex相切时切点是A（m，em），求出临界值，求出a的范围即可． 【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax，

若f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2）， 则y＝ex和y＝2ax在（0，+∞）上有2个交点， 设直线y＝2ax和y＝ex相切时切点是A（m，em）， 则y′＝ex，y′|x＝m＝em， 故y﹣em＝em（x﹣m）， 即y＝emx+（1﹣m）em＝2ax， 故（1﹣m）em＝0，解得：m＝1， 故A（1，e），故2a＝e，a＝， 故直线y＝2ax和y＝ex相交时，a＞， 故选：D．

【点评】本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．

9．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（ ） A．（﹣2019，﹣2017） C．（﹣2021，﹣2019）

B．（﹣2019，﹣2018） D．（﹣2020，﹣2019）

【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转

第11页（共41页）

化即可得到结论．

【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）， 得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3， 即[x2f（x）]′＜x3＜0， 令F（x）＝x2f（x）， 则当x＜0时，

得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

∴F（x+2019）＝（x+2019）2f（x+2019），F（﹣2）＝4f（﹣2）， 即不等式等价为F（x+2019）﹣F（﹣2）＜0， ∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，

∴由F（x+2019）＜F（﹣2）得，x+2019＞﹣2， 即x＞﹣2021，又x+2019＜0，解得：x＜﹣2019， 故﹣2021＜x＜﹣2019， 故选：C．

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

10．若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（ ） A．﹣1

B．1

C．2

D．e

【分析】求出y＝ex的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y＝lnx+b相切的切点为（m，n），求得函数y＝lnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值． 【解答】解：y＝ex的导数为y′＝ex， 曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率为k＝1， 则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x， y＝lnx+b的导数为y′＝， 设切点为（m，n），则＝1， 解得m＝1，n＝2， 即有2＝ln1+b， 解得b＝2．

第12页（共41页）