知识专题突破 专题9 立体几何 Word版含答案

专题九 立体几何

———————命题观察·高考定位———————

(对应学生用书第39页)

1. (2017·江苏高考)如图9－1，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

V1V2

图9－1

3

[设球O的半径为R， 2

∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.

V1πR2·2R3∴＝＝.] V2423

πR3

2．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．

7 [设新的底面半径为r，由题意得

112222

×π×5×4＋π×2×8＝×π×r×4＋π×r×8， 33∴r＝7，∴r＝7.]

3．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧

2

S19V1

面积相等，且＝，则的值是________．

S24V2

3S19πr19r13

[设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得2＝，则＝.由2S24πr24r22

2

h12V1πr231h1

圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则＝，所以＝2＝.] h23V2πr2h22

4. (2013·江苏高考)如图9－2，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.

图9－2

1∶24 [设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，

AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于

111111

h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.] 23422424

5．(2017·江苏高考) 如图9－3，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.

【导学号：56394060】

1

4

图9－3

[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

所以EF∥AB.

又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，

BC?平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD.

因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC?平面ABC， 所以AD⊥AC.

6. (2016·江苏高考)如图9－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

图9－4

[证明] (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.

又因为DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， 所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.

又因为B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. [命题规律]

观近几年江苏的高考题，立体几何的客观题以柱、锥、球为载体考查体积、表面积为主，属容易题；解答题一般都处于解答题第16题的位置，也就是属于容易题范畴，考查的难度不大，且都是考查线线、线面或面面的平行与垂直关系的证明．从近几年江苏高考试题分析，解答题中考查一道立体几何题型是固定模式，一般与棱柱和棱锥相关，其重点放在对几何体中的一些线、面之间的平行与垂直关系的证明上，突出考查学生的空间想象能力和推理运算能力．

———————主干整合·归纳拓展———————

(对应学生用书第40页) [第1步▕ 核心知识再整合]

1．空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

1

②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

2

1

③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；

2④S球表＝4πR(R为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1

②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

343

③V球＝πR.

3

2．直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 3．直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.

[第2步▕ 高频考点细突破]

2

空间几何体的表面积、体积、球与多面体 【例1】 (江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)如图9－5，

图9－5

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A－B1D1D的体积为________cm.

11111

[解析] VA－B1D1D＝VB1－AD1D＝×S△AD1D×B1A1＝××AD×D1D×B1A1＝××3×2×3

33232＝3. [答案] 3

[规律方法] (1)在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则

3

是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上．

(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解．

(3)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．

(4)求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心． [举一反三]

(江苏省南京市2017届高考三模数学试题)如图9－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，

BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1

的体积为________．

图9－6

1

[将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图， 3

连接AC1，交BB1于D，此时AD＋DC1最小，

∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点， ∴当AD＋DC1最小时，BD＝1， 此时三棱锥D－ABC1的体积：

VD－ABC1＝VC1－ABD＝×S△ABD×B1C1

11

＝××AB×BD×B1C1 32111＝××1×1×2＝.] 323

1

3