数的整除特征

数的整除特征

学法指导

能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。学习这一讲知识要学会举一反三。 经典例题

[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。 思路剖析

这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件： （1）各位数字和是3的奇数；

（2）末两位数组成的两位数是4的倍数； （3）末位数为0或5。

按此条件很容易找到这个六位数。 解答

不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。 又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：

当b=2时，3|（5+6+8+a+2），a可为0、3、6、9； 当b=4时，3|（5+6+8+a+4），a可为1、4、7； 当b=6时，3|（5+6+8+a+6），a可为2、5、8； 当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0、3、6、9； 当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2、5、8。

为了使六位数尽可能地小，则a应取0、b应取2、c应取0。 故能被3、4、5整除的最小六位数应为568020。

[例2]四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？ 思路剖析

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数的整除特征

能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：个位数字B在0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A。 解答

要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除。所求的四位数是8010、8310、8610、8910。

[例3]有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？ 思路剖析

本题实际上是判断513与633能否被9整除。 解答

513各位上数字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是6+3+3=12，不能被9整除。

所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给9个小朋友还剩余3块。

[例4]有一个四位数是9的倍数，求A的值。 思路剖析

四位数是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是9的倍数。 解答

（1）当和是9时，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2．5（舍）； （2）当和是18时，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；

（3）当和是27时，3+A+A+1=27，即2A=23，可见A=11．5>10（舍）。 所以，A的值是7。

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数的整除特征

[例5]一位马虎的采购员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：72只桶，共□67．9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？ 思路剖析

用整除性质：一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。例如，整数a能被15整除，那么这个数一定能同时被3和5整除。这种方法是分析整数问题的基本方法。 解答

将□67．9□元看做□679□分，这是72只桶的总价，因为单价×72=□679□，所以□679□能被72整除。72=8×9，所以□679□应该能被8和9整除。

如果□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□，容易算出□内是2。

因为□6792能被9整除，所以其各数之和能被9整除。□+6+7+9+2=□+24，显然，□中的数只能是3。 所以这笔账是367．92元。 答：一共用了367．92元。

[例6]在□里填上适当的数字，使得六位数□678□□能被8、9和25整除。 解答

☆解法一：根据8、9和25整除的数的特征很容易解出此题。

这个六位数能被25整除，根据能被25整除的数的特征知，六位数的末两位数可能是00、25、50、75；该数又能被8整除，所以这个六位数的末三位数应能被8整除，而在800、825、850、875中只有800满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是0；又因为这个六位数能被9整除，所以这个六位数的各位数字之和（不妨设首位为x）为： x+6+7+8=21+x

能被9整除，可推出x只能为6，所以这个六位数为667800。

☆解法二：根据数的整除性质（4）：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

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数的整除特征

因为8×25=200，而且8与25互质，根据整除的性质（4），所求的六位数能被200整除，所以个位、十位都应该是0。然后由这六位数能被9整除，和解法一一样的方法可知这个六位数为667800。

[例7]有一水果摊一天进货6筐，分别装着香蕉和苹果，重量为8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。头一天卖出一筐苹果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是苹果重量的2倍。问卖掉的那筐重多少千克？剩下的5筐，哪几筐是苹果，哪几筐是香蕉？ 思路剖析

根据已知条件：剩下的5筐中香蕉的重量是苹果的2倍。可推出：剩下的5筐中香蕉重量与苹果重量之和是3的倍数，即能被3整除。 解答

因为6筐水果的总重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根据题意，剩下的5筐中香蕉与苹果总重量之和是3的倍数，那么卖出的一筐苹果也必须是3的倍数。从6筐水果数中可知有两种情况，卖出一筐苹果可能是9千克或是27千克。 如果卖出的一筐苹果是9千克，那么102－9=93(千克)。根据剩下的5筐中香蕉的重量与苹果总重量的2倍，则苹果为93÷（1+2）=31（千克）。从剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克为苹果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克这三筐为香蕉。

如果卖出的一筐苹果是27千克，同理，102－27=75(千克)，苹果为75÷(1+2)=25(千克)，即16千克与9千克这两筐。香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克这三筐。

所以本题有两种答案：如果卖出的那筐是9千克苹果，则剩下的5筐中8千克、23千克两筐为苹果，16千克、19千克和27千克三筐为香蕉。如果卖出的那筐是27千克苹果，则剩下的5筐中9千克、16千克两筐为苹果，8千克、19千克、23千克三筐为香蕉。

[例8]把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一个多位数

12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。

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