2009年高考原题数学文（四川卷）解析版

53f()?f(?1)?22

1?311?2f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0 3232323122222009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（文史类）

第Ⅱ卷

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13.抛物线y2?4x的焦点到准线的距离是 . 【答案】2

【解析】焦点F（1，0），准线方程x??1，∴焦点到准线的距离是2 14.(2x?m 16)的展开式的常数项是 （用数字作答）2xrr6?rw.w.w.k.s.5.u.c.o.【答案】－20

【解析】Tr?1?(?1)C6(2x)(1r)?(?1)rC6r26?2rx6?2r，令6?2r?0，得r?3 2x3 故展开式的常数项为(?1)3C6??20

M是侧棱CC1的中15.如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，

点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 。【答案】90°

【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1， 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，

∵B1N⊥BM，∴AB1⊥BM.即异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°

16．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m f:V??V满足：对所有a、bV及任意实数?,?都有

f(?a??)b??(f?)a?，则(ffb称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④

【解析】①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，

突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）

、C所对的边分别为a、b、c，且在?ABC中，A、B为锐角，角A、BsinA?55,sBi?n10 10（I）求A?B的值； （II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

510,sinB? 51025310,cosB?1?sin2B? 510253105102????. 5105102【解析】（I）∵A、B为锐角，sinA?∴ cosA?1?sinA?2cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?A?B?? ∴ A?B??4 ????????????????6分

（II）由（I）知C? 由

3?2，∴ sinC? 42abc??得 sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b

又∵ a?b?2?1

∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1

∴ a?2,c?5 ????????????????12分

18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中在省外游客中有

3是省外游客，其余是省内游客。412持金卡，在省内游客中有持银卡。33w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率. 【解析】I）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则

11C6C2P(A)?230?

C367所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是

2. ?????????????6分 7（II）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：

事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则

112C9CC2144 P(B)?P(B1)?P(B2)?2?26?C36C36105所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是

44. ????????12分 10519（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45 （I）求证：EF?平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面BCE

?

（III）求二面角F?BD?A的大小。 【解析】解法一：

因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF. 所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE, BC∩BE=B

所以EF?平面BCE

????????????????6分 （II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN

1AB2PC

∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN. ∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. ????????????????8分 （III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH. ∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=

12,则FG?AF?sinFAG?

2213=, 22

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

GH?BG?sinGBH?3232,??224FG2, ?GH3 w.w.w..s.5.u.c.o.m 在Rt⊿FGH中, tanFHG?∴ 二面角F?BD?A的大小为arctan2 3w.w.w..s.5.u.c.o.m ????????????????12分解法二: 因?ABE等腰直角三角形，AB?AE，所以AE?AB

又因为平面ABEF?平面ABCD?AB，所以AE⊥平面ABCD，所以AE?AD