量子力学课件第十一章

有关。

定义G(r)，满足

(?2?k2)G(r)??3(r)。 [11.52]

则?可表达为如下积分：

?(r)??G(r?r0)Q(r0)d3r0。 [11.53]

容易证明它满足薛定谔方程11.50:

(?2?k2)?(r)??[(?2?k2)G(r?r0)]Q(r0)d3r0???(r?r0)Q(r0)dr0?Q(r)33

G(r)称为赫尔姆霍茨方程的格林函数。（一般地，一个线性微分方程的格林函数代表对一个?函数源的“响应”。）

下面首先求解方程11.52 得到G(r)10。利用傅里叶转换，把微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。令

G(r)?则

1eis?rg(s)d3s。 [11.54] 3/2?(2?)(?2?k2)G(r)?再利用

122is?r3[(??k)e]g(s)ds。 3/2?(2?)?2eis?r??s2eis?r， [11.55]

和（见2.144 式）

?3(r)?方程11.52 可写为

1is?r3eds， [11.56] 3?(2?)1122is?r3(?s?k)eg(s)ds?eis?rd3s. 3/2?3?(2?)(2?)由此可得11

g(s)?将上式代回11.54 式，可得

1。 [11.57] 3/222(2?)(k?s)G(r)?

1011

11is?r3eds。 [11.58] 3?22(2?)(k?s)注意：接下来的两页是包含回路积分的复杂的分析，读者可以直接跳过这些分析看结果，即11.65式。

这显然是充分的，但是它也是必要的，你可以把两项并入一个积分并利用Plancherel定理2.102式.

s r ? ? 图11.8：[11.5]）式积分的坐标系。

在此积分中r是固定，对s的积分，我们选择极轴沿着r方向的球坐标系（s,?,?）（如图11.8）。那么，s?r?srcos?，对?的积分很简单（其值为2?），对?的积分为

?代入11.58式，可得

?0eisrcos?eisrcos??2sin(sr)sin?d???|0?。 [11.59]

isrsrG(r)?2?ssin(sr)1?ssin(sr)ds?ds。 [11.60] 2222???22?0(2?)rk?s4?rk?s1剩下的积分就没有那么简单了。为此，将11.60 式中的积分项还原为指数形式，并将分

母因子化：

????seisrse?isrG(r)?2??ds??ds???(s?k)(s?k)8?r???(s?k)(s?k)? [11.61]

i ?2(I1?I2).8?ri对其中两个积分的计算可利用柯西积分公式：

f(z)?(z?z0)dz?2?if(z0)， [11.62]

其中z0位于积分回路之内（否则积分为零）。现在的积分沿着实轴向右，并且依次穿越两个奇点?k。我们必须考虑如何绕过这两个奇异点。这里选择从上面绕过点-k，从下面绕过点+k（如图11.9所示）。（读者也可以选择不同的积分路径，甚至多次环绕奇点，那样会得到不同的Green函数，但可证明它们都是等价的。）

图11.9 ： 绕过奇点的积分路径（11.61 式）。

对于11.61式中的每个积分，我们必须选择适当的闭合回路使得在无穷远处半圆路径上的积分贡献为零。在I1的被积函数中，当s的虚部为正且趋于无穷大时因子e趋于零，因而对I1的积分选择s复平面内上半平面中的闭合积分回路（如图11.10（a））。此回路仅包围奇点s??k，所以

isr?seisr?1?seisr?ikrI1??ds?2?i?i?e。 [11.63] ??????s?k?s?k?s?k?s?k在I2的被积函数中，当s的虚部为负且趋于负无穷大时因子e?isr趋于零，所以对I2的积分

选择s复平面内下半平面中的闭合积分回路（如图11.10（b））; 此时回路包围奇点s??k（并

且回路沿顺时针方向，所以有负号）：

?se?isr?1?se?isr?ikrI2???ds??2?i??i?e。 [11.64] ??????s?k?s?k?s?k?s??k将11.63 式和11.64 式代入11.61 式，得：

eikrG(r)?2?i?e????i?e????。 [11.65] ???8?r4?riikrikr这就是赫尔姆霍茨方程的格林函数?即方程11.52的解。（也可以通过进行微分来验证

这个结果?见习题11.8.）。或者说这只是赫尔姆霍茨方程的一个格林函数，因为我们可以对G(r)加上满足如下齐次赫尔姆霍茨方程的任一函数G0(r)：

(?2?k2)G0(r)?0； [11.66]

结果时（G+G0）仍满足方程11.52。这种不确定性来源于积分绕过奇点的选择方式的不唯一性?不同的选择给出不同的G0(r)。

图11.10： 11.63 和11.64式中的闭合积分回路。

再回到11.53式，薛定谔方程的一般解就可写为

meik|r?r0|3?(r)??0(r)?V(r)?(r)dr0, [11.67] 002?2??|r?r0|其中?0满足自由粒子薛定谔方程

(?2?k2)?0?0。 [11.68]

11.67式是薛定谔方程的积分形式；它完全等价于所熟悉的微分形式。初看起来11.67式好

像是薛定谔方程(对任何给定势)的显式解?这好的不敢令人相信. 不要上当, 其实等式右边的积分中仍含有?，因而不能直接进行积分, 除非你知道解。尽管如此，这一积分形式非常有用，下面将看到它特别适用于求解散射问题。 习题11.8 用直接代入法验证11.65 式满足方程11.52。提示：?2(1/r)??4??3(r)。12

**习题11.9 证明：对于适当的V和E，氢原子基态（4.80式）满足积分形式薛定谔方程（注意E为负值，所以k?i?, 其中???2mE/?）。

11.4.2 一级波恩近似 假设V（r0）是在r0?0附近的局域势（就是说，该势在某个有限区域之外为0，这在散射问题中很常见。），我们想要计算在远离散射中心处的?(r)。 那么，在11.67式中对积分有贡献的所有区域有|r|>>|r0|，所以

r?r??|r?r0|2?r2?r02?2r?r0?r2?1?220?， [11.69]

r?? 12

见 D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd ed. (Prentice Hall, Upper Saddle River,NJ,1999),Section

1.5.3