量子力学课件第十一章

第十一章 散射

11.1 引言

11.1.1 经典散射理论

设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E，碰撞参数为b，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。

图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b，散射角为θ。

图11.2：弹性刚球散射。

例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为b?Rsin?，散射角为????2?，所以，

b?Rsin?显然，

??????????Rcos?? [11.1] ?22??2??2cos?1?bR?,if b?R, ??? [11.2]

if b?R.?0, 一般地，入射到横截面面积为d?的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d?内（如图11.3所示）。若d?越大，d?将越大；比例系数，D(?)?d?/d?，称为微分（散射）截面：1

图11.3：入射到面积d?内的粒子被散射到立体角d?内。

d ? ? D ( ? ) d ? [11.3]

利用碰撞参数和方位角?，d??bdbd?，d??sin?d?d?，所以， D????

bdb [11.4]

sin?d?(由于?通常是关于b的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。) 例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， 从而，

db1?????Rsin?? [11.5] d?2?2? 1

这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d?代表名词“微分截面”更为恰当。

但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D(θ)是不标准的：大多数人把它称为d?/d?—这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。

Rcos(?2)?Rsin??2??R2 D???? [11.6] ???sin??24?这是一个比较特殊的情况，微分截面不依赖?。

总截面是将D(?)对立体角积分：

??D???d? [11.7]

?粗略地讲，它是被靶散射的入射束的总面积。例如对刚球散射，

22 ??R4d???R [11.8]

???可以预期，它正是球的截面面积；入射到此面积内的粒子将击中靶，而在此之外的粒子将不能击中靶。这里所给出的表达形式的实质在于它对于不能简单地说“击中或击不中”的“软”靶（比如一个原子核的库仑场）也同样适用。

最后，假定有一束入射粒子，具有均匀强度（或粒子物理学家所称的亮度）

??单位时间内通过单位面积的入射粒子数目。 [11.9] 单位时间内通过面积d?（散射到立体角d?内）的粒子数目是dN?Ld??LD(?)d?，从而，

D????1dN [11.10] Ld?由于它只涉及实验室中容易测量的量，通常被作为微分截面的定义。如果探测器接收散射到立体角d?内的粒子，计录下单位时间内的粒子数目，除以d?，再除以亮度得到微分散射截面。 ***习题11.1 卢瑟福散射。设电荷为q1，动能为E 的入射粒子被一电荷为q2 的静止重粒子散射。

（a） 给出碰撞参数和散射角的关系。2 答案：b?(q1q2/8??0E)cot(?/2)。 （b） 求出微分散射截面。答案：

2??q1q2 D?????? [11.11] 2?16??0Esin??2??

（c） 证明卢瑟福散射的总截面是无穷大。通常说1/r势具有“无穷大作用距离”；你逃脱

不了库仑力的作用。

11.1.2 量子散射理论

在散射的量子理论中，我们设想有一列入射平面波，?(z)?Ae，在z 方向上传播，它与一散射势相遇，产生一列出射球面波（图11.4）3。也就是说，我们要寻求具有以下通式的 2

ikz可参考有关经典力学的书，例如：Jerry B. Marion and Stephen T. Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems, 4th ed., Saunders, Fort Worth, TX (1995), Section 9.10。

3

就目前来说，这里没有牵涉到很多量子力学方面的知识；我们在讨论的是波（相对于经典粒子）的

薛定谔方程的解：

?eikr??ikz ??r,???A?e?f???? 对大的r [11.12]

r???（球面波项中出现因子1/r是为了在远离散射中心处?形如1/r2以保证几率守恒。）与通常一样，波数k与入射粒子的能量之间的关系为：

2

图11.4：波散射；入射平面波产生出射球面波。

k?2mE [11.13] ?像以前那样，我将假定靶关于方位角对称；不过对更一般的情况，出射球面波的振幅f 也可能依赖于?。

图11.5：在时间dt内通过面积d?的入射束体积dV。

所有问题就归结为确定散射振幅f(?)；由它可给出?方向上的散射几率，进而与微分

散射，甚至可以把图11.4看作一幅描述水波遇到一块岩石的画面，或者（更好地三维散射的角度）一幅表示声波从一个篮球上反弹的图画。在这种情况下，我们以实函数形式写出波函数：

A[cos(kz)?f(?)cos(kr??)/r]

方向上的声波振幅。

f(?)将代表被散射到?