最新(天津专用)2018版高考数学总复习专题06数列分项练习理.

所以，数列{a2nb2n?1}的前项和为

3n?2n?18?4?． 33【考点】等差数列、等比数列、数列求和

【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．

二．能力题组

1.【2005天津，理18】已知：un?an?an?1b?an?2b2?（Ⅰ）当a = b时，求数列{an}的前n项和Sn； （Ⅱ）求lim?abn?1?bn?n?N*,a?0,b?0?。

un。

n??un?1n?1?an?2??n?2?an?1?a2?2a?n?n?3?a?1【答案】（Ⅰ）若a?1， Sn?,若，则 S?2n2?1?a?（Ⅱ）当q?1时，，limn??unu?a,当q?1时， limn?b

n??uun?1n?1n【解析】解：（I）当a?b时，un??n?1?a，它的前项和

23 Sn?2a?3a?4a???n?1?an ①

①两边同时乘以，得

234 aSn?2a?3a?4a???n?1?an?1 ②

b当a?b时，设q?（q?1），则：un?an?1?q?q2?aa?1?qn?un此时： ?n?1un?11?qun1?qn?lim?alim?a 当q?1时，即a?b时，limn??n??un??1?qn?1n?1?qn??an?1?qn?1?1?q

1?1a?1?q?unqnlim?lim?lim?alim?aq?bn??n??un??1?qn?1n??1n?1?q?1nq当q?1时，即a?b时，

n2.【2006天津，理21】已知数列?xn??,yn?满足x1?x2?1,y1?y2?2，并且

xn?1xyy??n,n?1??n（?为非零参数，n?2,3,4,?）． xnxn?1ynyn?1（1）若x1,x3,x5成等比数列，求参数?的值； （2）当??0时，证明

xn?1xn?n?N*； yn?1yn??当??1时，证明

x?ynx1?y1x2?y2?????n?n?N*.

x2?y2x3?y3xn?1?yn?1??1??【答案】 （1）???1.（2）（I）详见解析，（II）详见解析

（III）证明：当??1时，由（II）可知yn?xn?1(n?N).

*xn?1xnyn?1?xn?1yn?xn*?(n?N),?, 又由（II）则 yn?1ynxn?1xn从而

yn?1?xn?1xn?1???n?1(n?N*). 因此

yn?xnxn11?()nx?ynx1?y1x2?y211????n?1????()n?1?x2?y2x3?y3xn?1?yn?1???1?1????1.

?3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，

a4＋b4＝27，S4－b4＝10．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N)． 【答案】(1) an＝3n－1，bn＝2n， (2) 详见解析

【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．

*

*

?2?3d?2q3?27,?d?3,由条件，得方程组?解得 ?3?q?2.?8?6d?2q?10,所以an＝3n－1，bn＝2，n∈N．

n*

(方法二：数学归纳法)

①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； ②假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：

Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1

＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk

＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，

即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立． 由①和②，可知对任意n∈N，Tn＋12＝－2an＋10bn成立． 4.【2013天津，理19】已知首项为

*

3*

的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N)，2且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝Sn?1*

(n∈N)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． Sn357?；（Ⅱ）最大项的值为，最小项的值为.

2n612n?1【答案】（Ⅰ）an?(?1)?【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q?2a51?. a34