高三数学第一轮总复习 32利用导数研究函数的性质配套训练（含解析）新人教B版

所以f ′(1)＝0，因此k＝1. (2)解：由(1)得f ′(x)＝

1

(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)， xex令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又e>0，

所以x∈(0,1)时，f ′(x)>0；

xx∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g(x)＝xf ′(x)．

1

所以g(x)＝x(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

e由(2)h(x)＝1－x－xlnx，

求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne)，

所以当x∈(0，e)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减． 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e)＝1＋e. 1

又当x∈(0，＋∞)时，0

e

1－2－2

所以当x∈(0，＋∞)时，xh(x)<1＋e，即g(x)<1＋e.

e综上所述结论成立．

[点评] 本题考查了导数的运算、切线方程、利用导数研究函数的极值、研究函数的单调区间、利用导数证明不等式等．

－2

－2

－2

－2

－2

1．若函数f(x)＝x－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( ) A．(0,1) C．(0，＋∞) [答案] D [解析]

B．(－∞，1)

3

?1?D.?0，? ?2?

13

∵f ′(x)＝3x－6b，由题意知，函数f ′(x)图象如右图．

??f ′∴?

?f ′?

2

01

<0，>0.

??－6b<0，∴?

?3－6b>0.?

1

∴0

2

3

2

2．(2011·福建文，10)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )

A．2 B．3 C．6 D．9 [答案] D

[解析] f ′(x)＝12x－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0. ∴a＋b＝6，∴ab≤(

2

a＋b2

)＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．

2

3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a

A．af(b)≤bf(a) C．af(a)≤f(b) [答案] A

[解析] ∵xf ′(x)＋f(x)≤0，又f(x)≥0， ∴xf ′(x)≤－f(x)≤0. 设y＝故y＝

B．bf(a)≤af(b) D．bf(b)≤f(a)

fxx·f ′x－fx，则y′＝≤0， xx2fx为减函数或为常数函数． x 14

又a

fafb≥， ab∵a、b>0，∴a·f(b)≤b·f(a)．

[点评] 观察条件式xf ′(x)＋f(x)≤0的特点，可见不等式左边是函数y＝xf(x)的导函数，故可构造函数y＝xf(x)或y＝得结论，请再练习下题：

已知a、b是实数，且eb B．a

D．a与b的大小关系不确定 [答案] A

lnx1－lnx[解析] 令f(x)＝，则f ′(x)＝.当x>e时，f ′(x)<0，∴f(x)在(e，＋2

bababababafx通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推xxx∞)上单调递减．

∵ef(b)，即

balnalnb>，

ab∴blna>alnb，∴lna>lnb，∴a>b.

4．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为( )

1A．－ 51C. 5[答案] B

[解析] ∵f(x)为可导偶函数．∴f(x)在x＝0两边的导数符号相反，且在x＝0处连续． ∴f ′(0)＝0，又∵f(x)的周期为5. ∴f ′(x)的周期也为5.∴f ′(5)＝0， 即f(x)在x＝5处的切线斜率为0.

5．已知函数f(x)的定义域为R，f ′(x)为其导函数，函数y＝f ′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x－6)>1的解集为( )

2

baB．0 D．5

15

A．(2,3)∪(－3，－2) C．(2,3) [答案] A

[解析] 由f ′(x)图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f(x－6)>1可化为－2

6．已知函数f(x)＝－x＋ax＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．

(1)b的值为________；

(2)f(2)的取值范围是________．

3

2

2

2

B．(－2，2)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

?5?[答案] (1)0 (2)?－，＋∞? ?2?

[解析] (1)∵f(x)＝－x＋ax＋bx＋c， ∴f ′(x)＝－3x＋2ax＋b.

∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数， ∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0， ∴b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝－x＋ax＋c，

∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a. 2a2

∵f ′(x)＝－3x＋2ax＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝. 3

又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，

2a2a∴应是f(x)的一个极大值点，因此应有x2＝>1， 333即a>. 2

16

3

2

2

3

2