2018年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

某工厂生产的??产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件产品一件一件抽取出来检验，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格．假设某盒??产品中有8件合格品，2件次品． （1）求该盒??产品可出厂的概率；

（2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒??产品的检验费用为??（单位：元）． (??)求??(??=40)；

(????)求??的分布列和数学期望??(??)． 【答案】 解：（1）依题意，该盒??产品可出厂即任取的4件产品都为合格品．从10件中任取4件

44

的基本事件数为??10，4件都为合格品的事件数为??8，故该盒??产品可出厂的概率为??=

4??104??8

=．

3

1

(2)(??)该盒??产品的检验费用??=40元表示只检验4件产品就停止检验．记“从该盒10件产品中任取4件产品都为合格品”为事件??1，“从该盒10件产品中任取4件产品中，2件为合格品，2件为次品”为事件??2，事件??1与事件??2为互斥事件， 则??(??=40)=??(??1+??2)=??(??1)+??(??2)=3+(????)由题知??的取值分别为40,50,60,70,80,90,100. 所以??(??=40)=15,??(??=50)=??(??=60)=??(??=70)=

3???1??824??10

1

??56

1??15

3???1??824??10

1??11??6

1

2???2??824??10

=15，

7

7

×=

445

，

×??1×??1=45，

41

×??51×??1×??1=45， 6

5

4

4

3???1??824??10

??1??1??1

4

同理，??(??=80)=45,??(??=90)=45,??(??=100)=45， 所以??的分布列为：

?? 40 50

74??

15457

444

60

4 454

70 4 454

80 4 454

90 4 454

100 4 454

所以数学期望??(??)=40×15+50×45+60×45+70×45+80×45+90×45+100×

=58. 453

4

2

【考点】

离散型随机变量的期望与方差 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）依题意，该盒??产品可出厂即任取的4件产品都为合格品．从10件中任取4件

试卷第13页，总21页

44

的基本事件数为??10，4件都为合格品的事件数为??8，故该盒??产品可出厂的概率为??=

4??104??8

=．

3

1

(2)(??)该盒??产品的检验费用??=40元表示只检验4件产品就停止检验．记“从该盒10件产品中任取4件产品都为合格品”为事件??1，“从该盒10件产品中任取4件产品中，2件为合格品，2件为次品”为事件??2，事件??1与事件??2为互斥事件， 则??(??=40)=??(??1+??2)=??(??1)+??(??2)=3+(????)由题知??的取值分别为40,50,60,70,80,90,100. 所以??(??=40)=15,??(??=50)=??(??=60)=??(??=70)=

3???1??824??10

3???1??824??10

1

2???2??824??10

=

715

，

7

×??11=45，

6

??1

4

×

1

??5

??6

1×

1??11??51??45

=

4

45

1??14

，

4

3???1??824??10

×??1×??1×??1=45，

6

1

??5

同理，??(??=80)=45,??(??=90)=45,??(??=100)=45， 所以??的分布列为： ?? 40 50

74??

15457

444

60

4 454

70 4 454

80 4 454

90 4 454

100 4 454

所以数学期望??(??)=40×15+50×45+60×45+70×45+80×45+90×45+100×45=583.

已知??为坐标原点，点??(0,?2)，??是抛物线??:??2=2????(??>0)的焦点，|????|=3|????|． （1）求抛物线??的方程；

（2）过点??的直线??与抛物线??相交于??，??两点，与直线??=?2交于点??，抛物线??在点??，??处的切线分别记为??1，??2，1与??2交于点??，若△??????是等腰三角形，求直线??的方程． 【答案】

??是抛物线??:??2=2????(??>0)的焦点，即??(0,?2)， ∵ ??(0,?2)，|????|=3|????|， ∴ |2?2|=3×2，

解得??=1或??=?2（舍去）， ∴ 抛物线的方程为??2=2??，

设直线?? 的方程为??=????+2，??≠0， ??=?24

，解得??=???，??=?2， 由{

??=????+2∴ ??(???,??2)，

4??

??

??

4

2

试卷第14页，总21页

??2=2??

，消??可得??2?2?????4=0， 由{

??=????+2设??(??1,???1)，??(??2,???2)，

∴ ??1+??2=2??，??1??2=?4， 由??=2??2，可得??′=??，

则抛物线??在点??处的切线方程??1为?????1=??1(?????1)，

2

由点??在抛物线上，则??1=2??1， 2∴ 直线??1的方程为??=??1???2??1，①， 2同理可得??2的方程??=??2???2??2，②，

111

1

由①②解得??=??，??=?2， 即点??的坐标为(??,??2)， 由?????????????=2×(???)=?1， 则????⊥????，

又△??????是等腰三角形， 则|????|=|????|， 即??2+4=??2+4，

解得??=±2，

故直线了的方程为??=2??+2或??=?2??+2 【考点】 抛物线的求解 【解析】

（1）根据抛物线的简单性质可得抛物线的方程，

??2=2??

，可得??1+（2）设直线?? 的方程为??=????+2，求出??点的坐标，再由{

??=????+2??2=2??，??1??2=?4，根据导数的几何意义求出切线方程，即可求出??的坐标，再根据△??????是等腰三角形，即可求出答案． 【解答】

??是抛物线??:??2=2????(??>0)的焦点，即??(0,?2)， ∵ ??(0,?2)，|????|=3|????|， ∴ |2?2|=3×2，

解得??=1或??=?2（舍去）， ∴ 抛物线的方程为??2=2??，

设直线?? 的方程为??=????+2，??≠0， ??=?24

，解得??=???，??=?2， 由{

??=????+2∴ ??(???,??2)，

??2=2??

，消??可得??2?2?????4=0， 由{

??=????+2

试卷第15页，总21页

4??

??

??

16

??

2

设??(??1,???1)，??(??2,???2)，

∴ ??1+??2=2??，??1??2=?4， 由??=2??2，可得??′=??，

则抛物线??在点??处的切线方程??1为?????1=??1(?????1)，

2

由点??在抛物线上，则??1=2??1， 2∴ 直线??1的方程为??=??1???2??1，①， 2同理可得??2的方程??=??2???2??2，②，

111

1

由①②解得??=??，??=?2， 即点??的坐标为(??,??2)， 由?????????????=2×(???)=?1， 则????⊥????，

又△??????是等腰三角形， 则|????|=|????|， 即??2+4=??2+4，

解得??=±2，

故直线了的方程为??=2??+2或??=?2??+2

已知函数??(??)=???????2?????．

（1）若函数??(??)在??上单调递增，求??的取值范围；

（2）若??=1，证明：当??>0时，??(??)>1?

ln22

16

??

2

?(

ln22

)． 2

参考数据：??≈2.71828，ln2≈0.69．

【答案】

解法1:??′(??)=?????2?????， ∵ 函数??(??)在??递增，

∴ ??′(??)=?????2?????≥0，得??≤?????2??， 设??(??)=?????2??，则??′(??)=?????2， 令??′(??)=0，解得：??=ln2， 当??ln??时，??′(??)>0，

故函数??(??)在(?∞,?ln2)递减，在(ln2,?+∞)递增， 故??=ln2时，??(??)取得最小值??(ln2)=2?2ln2， 故??≤2?2ln2，

故??的范围是(?∞,?2?2ln2)； 解法2：由??′(??)=?????2?????，

设?(??)=?????2?????，则?′(??)=?????2， 令?′(??)=0，解得：??=ln2， 当??ln2时，?′(??)>0，

故函数?(??)在(?∞,?ln2)递减，在(ln2,?+∞)递增，

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