2013-2014学年高中数学 第二章 2.4（一）等比数列（一）基础过关训练

§2.4 等比数列(一)

一、基础过关

1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 A．9 C．11

2

( )

B．10 D．12

2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( ) A．3 C．1

B．2 D．－2

( )

3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 A．b＝3，ac＝9

B．b＝－3，ac＝9 D．b＝－3，ac＝－9

( )

C．b＝3，ac＝－9

4．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为 5A. 33C. 2

4

B. 31D. 2

5．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋等于( ) A．4 C．2

B．3 D．1

acmn6．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________. 7．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.

8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 二、能力提升

9．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则A.

5－1

2

B.

5＋1

2

1

C. 2

a3＋a5

等于 ( ) a4＋a6

D．不确定

10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则值是________．

a2－a1

的b2

11．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续

1

四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________. 12．已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.

(1)若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列； (2)若正数x，y，z依次成等比数列且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列． 三、探究与拓展

13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．

2

答案

1．C 2.B 3.B 4.A 5.C 6．4·(3n－1

2

)

7．解 由等比数列的定义知a2

2＝a1q，a3＝a1q代入已知得，

??a2

?1＋a1q＋a1q＝7??a·a21·a1q1q＝8

，

??a2即?11＋q＋q＝7，

??a3q3

1＝8，

2即???

a11＋q＋q＝7， ①?

?

a1q＝2， ②

将a＝2q代入①得2q2

1－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝1

2

，

?由②得???

a1＝1?或?

?q＝2

a1＝4，???q＝1

2

.

∴a＝2

n－1

或a3－nnn＝2.

8．解 设前三个数分别为a－d，a，a＋d， 则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16. 设后三个数分别为bq，b，bq，则有

bq·b·bq＝b3

＝8 000，即b＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n， 2

∴m＝2×16－20＝12，n＝20

16＝25.

即所求的四个数分别为12,16,20,25. 9．A 10.1

2

11.－9

12．证明 (1)∵a，b，c成等差数列且d≠0， ∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，

∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz ＝2dlogmy－dlogmx－dlogmz ＝d(2logmy－logmx－logmz)

3

logy2

＝dm(xz)＝0.

d≠0，∴logy2y2

∵mxz＝0，∴xz＝1.

∴y2

＝xz，即x，y，z成等比数列． (2)∵x，y，z成等比数列，且公比q≠1， ∴y＝xq，z＝xq2

，

∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz ＝(b－c)log2

mx＋(c－a)logm(xq)＋(a－b)logm(xq)

＝(b－c)logmx＋(c－a)logmx＋(c－a)logmq＋(a－b)logmx＋2(a－b)logmq ＝(c－a)logmq＋2(a－b)logmq ＝(a＋c－2b)logmq＝0， ∵q≠1，∴logmq≠0，

∴a＋c－2b＝0，即a，b，c成等差数列．

13．解 设三个数为a，a，aq，∴a3

q＝－8，即a＝－2， ∴三个数为－2

q，－2，－2q.

(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2

q＋2q＝4，

∴q2

－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；

(2)若－2q为－2q与－2的等差中项，则1

q＋1＝2q，

2q2

－q－1＝0，q＝－12或q＝1(舍去)，

∴三个数为4,1，－2；

(3)若－2q为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝2

q，

∴q2

＋q－2＝0，

∴q＝－2或q＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.

综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为 4,1，－2或－2,1,4.

4