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图① 图②

(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；

(2)甲组数据频率分布直方图如图②所示，求a、b、c的值；

(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率。

78＋7975＋82

解 (1)甲组数据的中位数为2＝78.5，乙组数据的中位数为2＝78.5。

从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散。 (2)由图②易知a＝0.05，b＝0.02，c＝0.01。

(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其164

中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P＝100＝25。

19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，

AC,BD相交于点O，EF//AB，AB?2EF，平面BCF?平面ABCD，BF?CF，点G为BC的中点．

（1）求证：直线AC?平面ODE．

（2）（文）若AB?BF?2， ?DAB?60，求点G到平面ADE的距离。

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证明：（1）∵ BF?CF，点G为BC的中点，∴FG?BC. ∵平面BCF?平面ABCD，平面BCF平面ABCD?BC，

FG?平面BCF，FG?BC ∴FG?平面ABCD，

∵AC?平面ABCD，∴FG?AC，

∵OG//AB,OG?AB，EF//AB,EF?AB，

∴OG//EF,OG?EF，∴四边形EFGO为平行四边形, ∴FG//EO， …………3分 ∵

FG?ACADEF1212COBG，FG//EO，∴AC?EO，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC?DO，

∵AC?EO，AC?DO，EODO?O，EO、DO在平面ODE内， ∴AC?平面ODE． ………………6分

（2）由BC//AD, ∴BC//平面ADE, ∴点G到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离,设为

O?E3F?G2?2d。∵

32?2?4VB?ADE?VE?ABD,OD,?1，故 3由（1）知，

3S?,??ABD∴AE?DE?OE2?OD2?2?AD,OA?3，

边上的高=

23?3?6,在?ADE中，AE2211016210S???6?15,由VB?ADE?VE?ABD,得2-()=,?ADE22222115162?d???3?3?d??15，点G到平面ADE的距离为323515215。…………12分 5

20.（本小题满分12分）已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1,0)，B

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是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程；

→QF→

(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求PE·的取值范围。

解 (1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝42，所以圆心为H(－1,0)，半径为4。

连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|， 所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4。

根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，x2y2

其方程为4＋3＝1，即为所求曲线C的方程。

→AE→AQ→AF→0→QF→(AE→

(2)由直线EF与直线PQ垂直，可得AP·＝·＝，于是PE·＝－→)·→AQ→→AF→AP→AQ→ AP(AF－)＝AE·＋·。

3??

?①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，此时可不妨取P?1，2??，3?3??3?921??→→??????Q?1，－2?，E(2,0)，F(－2,0)，所以PE·QF＝?1，－2?· ?－3，2?＝－3－4＝－4。

21

→→

QF＝－4。 ②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得PE·③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直1

线PQ的方程为y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则直线EF的方程为y＝－k(x－1)。

将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，

4k2－128k2

(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以xP＋xQ＝3＋4k2，xP·xQ＝3＋4k2。于是→·AQ→AP(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xP·xQ－(xP＋xQ)＋1]＝(1＋＝(xP－1)·

2

8k2?4k－12?9(1?k2)2??22k)?3＋4k－3＋4k＋1?＝?。 23?4k1

将上面的k换成－k，可得

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9(1?k)→→

AE·AF＝?，所以 23?4k2→·→AE→AF→AP→AQ→PEQF ＝·＋·＝－9(1＋k2)·1??1

?3＋4k2＋4＋3k2?。 ??

令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得， 1??1→→?PE·QF＝－9t?4t－1＋3t＋1??＝ 63t263

2－12t＋t－1＝－49?11?。

??24－?t－2?

12136

→→

QF≤－7。 由t>1，得0

36??21→→?QF的取值范围为?－4，－7?综合①②③可知，PE·?。

21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=1+klnx，k?0. x（1）当k=2时，求函数f(x)切线斜率中的最大值； （2）若关于x的方程f(x)=k有解，求实数k的取值范围.

解：（1）函数f(x)=1+klnx的定义域为(0,??). x1k+(x>0) 2xx121'2当k=2时，f(x)??2???(?1)?1?1，

xxxf'(x)=-所以函数f(x)切线斜率的最大值为1.

（2）因为关于x的方程f(x)=k有解，

1+klnx-k，则问题等价于函数g(x)存在零点， x1kkx-1'所以g(x)=-2+=.

xxx2令g(x)=f(x)-k=当k<0时，g(x)<0对(0,??)成立，

'函数g(x)在(0,??)上单调递减.

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