概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第25页 (共57页)

E(Xk)?p?

n1,nD(Xk)?n1?1??1??n?n?1??E(X)?E??Xk???E?Xk??n??1n?k?1?k?1

（2）XkXj服从0-1分布，则有

P(XkXj?1)?P(Xk?1,Xj?1)?n(n1?1),E(XkXj)?n(n1?1)

?n?D(X)?D??Xk?

?k?1???D?Xk??2?Cov(Xk,Xj)k?1nk?jn1?1????1???2?(E(XkXj)?E(Xk)E(Xj))n?k?1n?k?j?1?

?111??2???2?nn?k?j?n(n?1)111?1?n?1?2??1??2Cn??1??1?????12?nn(n?1)nnn????故，E(X)=D(X)=1.

我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X服从参数为1的泊松分布.

13. 在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.

解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y为独立同分布的随机变量, 其密度函数为

?1?1?,0?x?1?,0?x?1 fX(x)??l,fY(y)??l,??otherother?0,?0,?1?,0?x,y?1f(x,y)?fY(x)fY(y)??l2,

?other?0,

依题意有

??????E(X?Y)???????x?yf(x,y)dxdy

?x?y?0?0lxll11dydx?y?xdydx ??22??0xll1lx21ll2x2?2?dx?2??lx?dx

2l02l021?x3l?1?l2xlx2x3l? ????????260?2l2?30?l2?2lll??? 663E(?X?Y?)??2?????????x?y2f(x,y)dxdy

??

?x?y?0?0ll21dxdy l2概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第26页 (共57页)

l1l?2?dx??x2?2xy?y2?dy0l0 3l?1l?2y?2??xy?xy2??dx3?0l0?1?2l1?2ll3?0xl?xl?3dx?13122l3?xl?xl?23?3l22?lx? ?01?l26 D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 =

121212l?l?l 6918

14. 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为

1??2,???????x??f(x)??2

????????????其他,求E(2X2)，D(2X2). 解 E(2X2)?2E(X2)?2?????12xf(x)dx?2?2x2dx?02121 61 12E(X)?4?????xf(x)dx??2x4dx?041,802E(X2)?D(2X2)?4D(X2)?4E(X4)??E(X2)???1?1?1 ?4??????80144?45

15. 设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率

P(X?E(X)?7.5)

的值.

解 由切比雪夫不等式, 取??7.5,??2.5, 得

2.52 P(X?E(X)?7.5)?. ?7.5245

16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的

次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率 解 由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有

P(40?X?50)

2?2?P(X?50?10)?1?2

??1?253?. 1004

17. 设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为f(x)，证明：

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（1）a≤E(X)≤b；

(b-a)2（2）D(X)?.

4解 (1) 由题意，a≤X≤b, 那么

E(X)????????????xf(x)dx???????a?x则,b

???????a?af(x)dx????xf(x)dx??bf(x)dx

????f(x)dx??????xf(x)dx?b?f(x)dx,

由于

?f(x)dx?1

所以a?E(X)?b

(2) 解法(一)

因为 x?[a,b], 所以有(x?a)(x?b)?0

即 x2?(a?b)x?ab?0,

E(X2?(a?b)X?ab) E(X2)?(a?b)E(X)?ab

又 D(X)?E(X2)??E(X)?2

?(a?b)E(X)?ab??E(X)?

2??E(X)?a??b?E(X)?(平均值不等式变形:a,b?0时,ab?2a?b)2(X)?E(X)?a?b?E? ???

2???b?a????

2??(b?a)2即D(X)?

4

解法(二), 由于

2E((X?C)2)?E(X2?2XC?C2)

?(E(X)?C)2?E(X2)??E(X)?

2?(E(X)?C)2?D(X)

当C?E(X)时,E((X?C)2)取最小值D(X)

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于是当C?D(X)?E

??X?E(X?)?2a?b时,有22??a?b???E??X?????2????2??a?b???E??b?????2????

??b?a?2??b?a??E???????2??4??2

18. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 0 1 Y 1 0.1 0.2 2 0.2 0.4

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，?XY及协方差矩阵. 解 由题设，

E(X)?0?(0.1?0.2)?1?(0.3?0.4)?0.7 E(Y)?0?(0.1?0.3)?1?(0.2?0.4)?0.6

E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4

E(X2)?02?(0.1?0.2)?12?(0.3?0.4)?0.7 E(Y2)?02?(0.1?0.3)?12?(0.2?0.4)?0.6D(X)?E(X2)?(E(X))2?0.7?0.49?0.21 D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?0.6?0.36?0.24

cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = 0.4?0.6×0.7 = ?0.02

?XY?cov(X,Y)/D(X)D(Y)??0.02/0.21?0.24??0.089

协方差矩阵为

??12C?????1?2??1?2??0.21?0.02????? 2?2???0.020.24?

19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X －1 0 1 Y

－1 0

11 88 18

8 8

11

0