概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第21页 (共57页)

第三章 随机变量的数字特征

1. 随机变量X的分布列为

X P

－1 3

10

2

1 1 2

1111 66124

求E(X)，E(－X＋1)，E(X2)

111111解 E(X)??1?1 3?0?6?2?6?1?12?2?4?3111112E(?X?1)?(?(?1)?1)?13?(?0?1)?6?(?2?1)?6?(?1?1)?12?(?2?1)?4?32或者E(?X?1)?E(?X)?E(1)??E(X)?1??1 3?1?3

22235112111 E(?X2)?(?1)2?13?(0)?6?(2)?6?(1)?12?(2)?4?24

2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出

的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.

解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X的取值为0, 1, 2, 3, Ak表示取出废品数为k的事件， 则有：

1C3kC9P(Ak)?k?1,k?0,1,2,3,C12C12?kE(X)??k?0k?P(Ak)?366?0.3220

3. 已知离散型随机变量X的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求P(X=?1)，

P(X＝0)，P(X＝1). 解 根据题意得：

E(X)??1P(X??1)?0P(X?0)?1P(X?1)?0.1E(X)?(?1)P(X??1)?0P(X?0)?1P(X?1)?0.9 可以解得 P(X??1)=0.4, P(X=1)=0.5,

P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1?0.4?0.5=0.1

4. 设随机变量X的密度函数为

2222

?2(1?x),???????x??? f(x)?????????????????其他.求E(X). 解 由题意, E(X)?1xf(x)dx?2(1?x)xdx?, ????03?1

5. 设随机变量X的密度函数为

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?e?x,?????x?0? f(x)?????????????x???求E(2X)，E(e解 E(2X)??2x).

?????2xf(x)dx??2xe?xdx

0?0?x?x??2xe?x|?|0??2 0??edx?2?0?e??

E(e?2X)??e?2xf(x)dx??????e0?2x?x11edx??e?3x|??033

6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a，b］上，求球的体积的数学期望.

D解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=43??2?

3 因此，E(V)?????Vf(x)dx??ba4?x?1???dx 3?2?b?a3??24(b?a)x4|?0??24(a?b)(a2?b2)

7. 设随机变量X，Y的密度函数分别为

?2e?2x,?????x?0? fX(x)????????????????x????4e?4y,????y??0? fY(y)??????????????y???求E(X＋Y)，E(2X－3Y2).

(X)?E( Y)解 E(X?Y)?E????????xfX(x)dx??0????yfY(y)dy??2xe?2xdx??4ye?4ydy

0???113??244

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E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2???????xfX(x)dx?3?0????y2fY(y)dy

?2?2xe?2xdx?3?4y2e?4ydy0???1?

8. 设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为

35?88?2x,???????x?1? fX(x)??????????????其他?（y－5）?e?,????y??5?fY(y)??

???????? ???y?5??求E(XY).

解 由于XY相互独立, 因此有

E(XY)?E(X)E(Y)????2x2dx?01??5????xfX(x)dx?????yfY(y)dyye?(y?5)dy

2???(y?5)?????(y?5)??????ye??edy???553??????????2?????0?5????e?(y?5)???53?????22????5???(0?1)?????(?6)?433

9. 设随机函数X的密度为

求E(X), D(X). 解 E(X)????1?,????x?1??2f(x)???1?x

???????????????x?1.?11??xf(x)dx???1x1?xx21?x212?1dx?0

21E(X)??2????xf(x)dx?12??1?12dx???x2201?x2?1???dx???1?x2dx??01?x2?0?2?211??()?arcsinx|1?1?0???4?2221?x211dxdx

?01?x2D(X)?E(X2)??E(X)??

21 2概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第三章 第24页 (共57页)

10. 设随机函数X服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为

?x?2x?2?e,?????x?0? f(x)???2?????????????????x????其中σ>0是常数，求E(X)，D(X). 解 E(X)?????2???xf(x)dx??x2x20?2e?x22?2dx?????0xde?x22?2

u?x/?22???x2???x2??2?2??????xe??e2?dx???e2?dx000??

???????e0???u22du????2???2?2??0E(X)??2????xf(x)dx??2x30?2e?x22?2dx???xde2?x22?222???2?2x?22??????x2?x2???xe??2xe2?dx??2?xe2?dx

000??2u?x2?2?????2?2?e?udu??2?2e?u0?????2?20D(X)?E(X2)??E(X)?2?2?2?????????2??(2?) ?2?2?2

11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2

E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X2)?(E(X)) 2 = 35/12

掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+?+X12)=12E(X) = 42

D(X1+X2+?+X12) =D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35

12. 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，将一

只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X), D(X). 解 （1）直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量Xk

第k只球装入第k号盒子?1,Xk??, 则有：

0,第k只球没装入第k号盒子?X??Xk，Xk服0-1分布

k?1n因此：P(Xk?0)?1?p?1?11,P(Xk?1)?p?, nn