概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第17页 (共57页)

1 3/8 1/2 3/20 1/5 9/40 6/20 3/4 pi

37. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

X 1 2 3 Y

1

11 69

18

12 a b c

（1）求常数a，b，c应满足的条件；

（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c. 解 由联合分布律的性质，有：

11112???a?b?c?1, 即 a + b + c =1?? 691833111 又，X, Y相互独立，可得 a:b:c?::

6918121 从而可以得到： a?,b?,c?

399

38. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?x2,????x?0,y?1,?2?1?x?x2y3F(x,y)??,????x?0,0?y?1, 2?1?x????0,?????????其他，??求边缘分布函数Fx(x)与Fy(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立.

解 由题意, 边缘分布函数

?x2x2?,x?0?lim FX(x)?F(x,??)??y???1?x21?x2

?0,x?0? 下面计算FY(y)

??0,y?0?x2y3??y3,0?y?1 FY(y)?F(??,y)??lim2x???1?x??x2?1,y?1?xlim????1?x2 可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互独立.

39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第18页 (共57页)

?21?y?e,????x?1,y?1 f(x,y)??x3??0,?????????其他，求边缘概率密度fX(x)与fY(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算fX(x), 当x<1时, fX(x)?0

21?y?21?y??2edy?e?3 ?1x31x3x 再计算fY(y), 当y<1时, fY(y)?0

当x≥1时, fX(x)???21?y?11?y??1?yedx?e?e 2?1x31x 可见, f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以随机变量X, Y相互独立

当y≥1时, fY(y)???

40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?x?y,???????x?y??? f(x,y)???0,?????????其他，求边缘概率密度fX(x)与fY(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算fX(x), 当x<0或者x>1时, fX(x)?0 当1≥x≥0时, fX(x)?1?02x?ydy?xy?12y11?x? 02 再计算fY(y), 当y<0或者y>1时, fY(y)?0

1211 x?ydx?xy?x?y??02021??1?? 由于f(x,y)?x?y?fX(x)fY(y)??x???y??, 所以随机变量X,Y不独立

2??2?? 当1≥y≥0时, fY(y)?141. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?2e?x?2y,?????x?0?y?0 f(x,y)???0,?????????其他求随机变量Z＝X－2Y的分布密度. 解 先求Z的分布函数F(z)

F(z)?P(Z?z)?P(X?2Y?z)?

D:X?2Y?z??f(x,y)dxdy

y Dx?2y=z 当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y≤z}

求得F(z)????z?2dy?z?2y02e?x?2ydx

1ze 2y z0x?2?ze?2y?e?4y?zdy??2?? 当z≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y≤z}，

F(z)??dy?0??z?2y02e?x?2ydx

D0zx?2y=z x

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1?2?e?2y?e?4y?zdy?1?e?z

02??由此, 随机变量Z的分布函数为

?1?z1?e,z?0??2 F(z)???1ez,z?0??2因此, 得Z的密度函数为： ?1?ze,z?0??2 f(z)???1ez,z?0??2

42. 设随机变量X和Y独立，X～N(???2)，Y服从［－b，b］(b>0)上的均匀分布，求

随机变量Z＝X＋Y的分布密度. 解 解法一 由题意，

F(z)??????fX(z?y)fY(y)dy???t22b12???(z?y?a)2?be2?2?1dy 2b则

令(z?y?a)/??t,dy???dt,y?[?b,b],dt?b?a1z??1F(z)?eb?a2b?z??2?1b?ab?a??z??????z???? ?2b解法二

F(z)??????fX(x)fY(z?x)dx,-b

1??a?z?b???a?z?b???1???1??????????2b??????????1??a?z?b??a?z?b??????????2b?????????

43. 设X服从参数为

11的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X23＋Y的密度函数.

x?0x?0???0,?0,解 由题设，X~fX(x)???1x, Y~fY(y)???1x

1132???2e,x?0?3e,x?0并且，X，Y相互独立，则FZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx

由于fX(x)仅在x>0时有非零值，fY(z?x)仅当z?x>0，即z>x时有非零值，所以当

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z<0时，fX(x)=0, 因此fZ(z)=0.

当z>0时，有0>z>x, 因此

FZ(z)??z01?1(z?x)x1?12ee3dx 23zzz??1z?1x?36??edx?e3?e2 60

44. 设（X，Y）的联合分布律为 X 0 1 2 3 Y 0 0 0.05 0.08 0.12 1 0.01 0.09 0.12 0.15

2 0.02 0.11 0.13 0.12 求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.

解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0

P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06

P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5 p 0 0.06 0.19 0.35 0.28 0.12

同理，U=max(X,Y)的分布如下 U∈{0,1,2,3}

U 0 1 2 3 p 0 0.15 0.46 0.39

同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V∈{0,1,2}

V 0 1 2

p 0.28 0.47 0.25