概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第9页 (共57页)

电量为90万千瓦时又是怎样的？

解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272

0.81 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：

P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037

0.91

14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分

布，分布密度为

x?1600e,?F(x)??600?0,?0?x0?x

试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.

解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则

P(A)=

?20001e600?x600dx?1?e?13

设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：

1P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CPA()?(1PA())??1e(?)?1e030?30?313

215. 设X为正态随机变量，且X～N(2，?)，又P(2

?2?2X?24?2??2? P(2?X?4)?P 3????????00.?????????????即???2???0.3?0.5?0.8 ???X?20?2???2??2?故 P(X?0)?P?????????1?????0.2

??????????

16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X－10|

?aX?10a? 解 由于P?|X?10|?a??P??a?X?10?a??P??????222??a???a??a??????????2????1?0.9

?2??2??2??a?所以????0.95

?2?a 查表可得， =1.65

2即 a = 3.3

17. 设某台机器生产的螺栓的长度X服从正态分布N(10.05，0.062)，规定X在范围(10.05

±0.12)厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率.

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第10页 (共57页)

解 由题意，设P为合格的概率，则

P?P(|X?10.0?5|0.?12P)???0.X?12X?10.05? ??10.05?P?0.?12?2???0.06??2??(2)??(?2)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544

则不合格的概率=1?P = 0.0456

18. 设随机变量X服从正态分布N(60，9)，求分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，

x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题，

x1?603?X?60x1?60?P(X?x1)?P??)??0.25???(3333?4?5 ??x?60x?60?(?1)?1??(1)?0.75,33查表可得

?x1?60?0.67 3 解得, x1 = 57.99

x2?603?4?X?60x2?60?又P(X?x2)?P??)??0.5833 ???(3?33?4?5?3查表可得

x2?60?0.21 3解得, x2 =60.63.

19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一

次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？

解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知

??10?7.5X?7.5?10?7.5p?P(X?10?)P???? 1010??10??(0.25?)??(1.?7?5)?(0.?2?5)1?(1.7?5)?0.59?87558610.95990.设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586) 于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?0.5586)n≥0.98 0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414) 解得：n≥4.784

取n=5, 即，需要进行5次测量.

20. 设随机变量X的分布列为 X －2 0 2 3

P

11 77

7

3

27

试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列. 解 (1) 2X的分布列如下

2X -4 0 4 6

p 1/7 1/7 3/7 2/7 (2) x2的分布列 X2 0 4 9

p 1/7 4/7 2/7

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第11页 (共57页)

21. 设X服从N(0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数.

?x,x?0, 从而可得Y=|X|的密度函数为： 解 y=|x|的反函数为h(y)=??x?0?x, 当y>0时，f(y)?f(?y)|(?y)'|?f(y)|y'|?YXX当y≤0时，fY(y)?0

?2?ye2,y?0 因此有 f(y)????Y?0,y?0?2?y1e2?2?2?y1e2?2?22?e?y22

22. 若随机变量X的密度函数为

?3x2,f(x)???0,求Y＝

0?x?1其他

1的分布函数和密度函数. x111 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=?2xyy

解 y=

?1?1?1??1?3fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX???2?3?2??2??4

?y?y?y??y?y?3,y?14因此有 f(y)?? y?Y?0,other??y?4?3y3ydy??y?1?y?3,??Y的分布函数为：FY(y)??11?0,?

23. 设随机变量X的密度函数为

y?1other

2?,?2f(x)???(1?x)?0,?x?0

x?0yy试求Y＝lnX的密度函数.

解 由于y?lnx严格单调，其反函数为h(y)?e,且h'(y)?e, 则

fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(ey)ey2ey? 2y?(1?e)2?,???y????yy?(e?e)

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第12页 (共57页)

24. 设随机变量X服从N(μ,?)分布，求Y＝e的分布密度. 解 由于y?ex严格单调，其反函数为h(y)?lny,且h'(y)?,y>0, 则

2x1yfY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|?fX(lny)?1e?12?(lny??)221y

2??y当y?0时fY(y)?0

,y?01?(lny??)2?12e2?,?因此 fY(y)??2??y??0,y?0y?0

?2x25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1?e在区间(0, 1)上服从均匀

分布. 解

1h(y)??2由于y?1?e?2x在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：

ln?(1y)?,y0?

1,并且h'(y)?1，则当0?y?1

2(1?y)fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|11?fX(?ln(1?y))

22(1?y)1?12(1?y)当y≤0或y≥1时，fY(y)=0.

?2e因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.

26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的

次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为

1?2(?ln(1?y))2132?1??1?P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=C3 ?????8?2??2?82?1??1?P(X=1, Y=1)= C?????2??2?133?13? P(X=0, Y=3)= 8?1?1??? ?2?83于是，（X，Y）的联合分布表如下： X 0 1 2 3 Y 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8

27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3

件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求： （1）X与Y的联合概率分布；