概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第5页 (共57页)

第二章 随机变量及其分布

1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律. 解 X的分布率如下表所示：

X 0 1 2 p 28/45 16/45 1/45

2. 进行某种试验，设试验成功的概率为

31，失败的概率为，以X表示试验首次成功所44需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

解 X的分布律为：

?1?P(X?k)????4?k?1?3???,k?1,2,3,?4?

X取偶数的概率：

?1??3?P{X为偶数}??P(X?2k)???????4?k=1k=1?4? k1?1?1??3????3?16?51?1k=1?16?163. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数x1,x2,x3.求：

X＝max (x1,x2,x3)的分布律及P(X≤4)； Y＝min (x1,x2,x3)的分布律及P(Y>3).

3解 基本事件总数为：C5?10，

??2k?1 (1)X的分布律为：

X 3 4 5

p 0.1 0.3 0.6

P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律为

Y 1 2 3

p 0.6 0.3 0.1

P(X>3) =0

?k4. C应取何值，函数f(k) =C，k＝1，2，?，λ>0成为分布律？

k!解 由题意,

?f(x)?1, 即

k?1?

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?Ck!?C?k?1k?1??k??k???k?0???C????C(e?1)?1 ?k!?k?0k!0!?解得：C?1

(e??1)

5. 已知X的分布律 X

P

－1 1 2

312 66

6

1?；3?. ? 求：（1）X的分布函数；（2）P?（3）X?P1?X?????2?2???解 (1) X的分布函数为F(x)?P(X?x)?xk?x?pk

?0,?1/6,? F(x)???1/2,??1,(2) P?X?x??1??1x?1;

1?x?2x?2??1?1 ?P(X??1)??2?63???P(?)?0 2?(3) P?1?X???6. 设某运动员投篮投中的概率为P＝0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出

其图形.

解 X的分布函数 F(x) 0 1 x

7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：

（1）三次射击中恰好命中两次的概率；

（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则

223?2(1) P(A) =P?3p2(1?p) 3(2)?C3p(1?p)?0?F(x)??0.6?1?x?00?x?1 x?11 0.6 (2) P(B) =P3(2)?P3(3)?C3p(1?p)223?2?C33p3(1?p)3?3?3p2?2p3

8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；

（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解

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(1) P(X=6) =

P(X=6) =

???4?4e?e?0.104k!6!?kk!e??k6或者

4k?4?4k?4??e??e= 0.21487 – 0.11067 = 0.1042. k?6k!k?7k!??4k?44k?4??e?1??e?1?0.00284(2) P(X≤10) = 0.99716

k?0k!k?11k!10

9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)

解 由已知可得，

?1???2??e?e,1!2!

解得λ=2， (λ=0不合题意)

24?2因此,P(X?4)?e= 0.09

4!

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃

瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.

解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此

32?3 (1) P(X=2) ?e?0.224

2!(2)P(X?2)?1?P(X?2)?1??3e?3?1?0.8008?0.1992

k?2?kk!3k?3(3)P(X?2)?P(X?2)??e?0.5768

k?3k!?3k?3(4)P(X?1)??e?0.9502

k?1k!?

11. 设连续型随机变量X的分布函数为

?0,?F(x)??kx2,?1,?x?00?x?1

x?1求：（1）系数k；（2）P(0.25

F(x)=P(X≤x)=P(X<0)+P(0≤X≤x)=kx2

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又F(1) =1, 所以k×12=1

因此k=1.

(2) P(0.25

?2x,0?x?1f(x)?F'(x)?? 0,Other? (4) 由(2)知，P(0.25

P{四次独立试验中有

三

次

在

(0.25,

0.75)

内

}

=

C0.5(1?0.5)3434?3?0.25.

12. 设连续型随机变量X的密度函数为

k?,x?1?2 F(x)??1?x?0,x?1?1?（3）X的分布函数. 求：（1）系数k；（2）P??X??；2??解 (1)由题意，

?????f(x)dx?1, 因此

1?1?? (2)

????f(x)dx??1k1?x21d?xakrcsinx??k??1

1解得: k???1?? ?31/21????1?1/2k1?P?x????dx?arcsinx???2?1/2?1/2??662???1?x (3) X的分布函数

xF(x)??

???0?f(x)dx??1/2?arcsinx/??1?x??1?1?x?1x?1

解得: k?1/?

13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万

千瓦时)，它具有分布密度为

?12x(1?x)2,F(x)???0,0?x?1其他

若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供