概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第五章 第37页 (共57页)

1nS?Xi?X?n?1i?12??21n12???Xi?3.59???25.929?2.881 9i?19

5. 样本均值与样本方差的简化计算如下：设样本值x1，x2，?，xn的平均值为x和样本

xi?a2，得到y1,y2,?yn，它的平均值为y，方差为Sy，试c22证：x?a?cy，Sx. ?c2Sy2方差为Sx，作变换yi?11n证明 由yi??xi?a?,所以xi?ciy?, ay??yi,cni?11n2 S?y?y???in?1i?12y1n1n1?n?x??xi???cyi?a????cyi?na?ni?1ni?1n?i?1?

nn1?1???c?yi?na??c?yi?a?cy?an?i?1ni?1?1n1n222Sx??xi?x???(cyi?a)?(cy?a)? ??n?1i?1n?1i?11n1n222 ?cy?cy?cy?y??????iin?1i?1n?1i?11n222 ?cy?y?c2Sy???in?1i?1

6. 对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的样本值为 1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．

采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换yi?xi?2000，再计算y与

22，然后利用第5题中的公式获得x和Sx的数值. Sy解 做变换后，得到的样本值为：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，310

1n y??yi?240.44

ni?11n22Sy?y?y?221661.28 ???in?1i?1

x?y?2000?2240.44S?S?221661.282x2y

7. 某地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据，试画出它们的直方图，然后利

用组中间值给出经验分布函数. 440 444 556 430 380 420 500 430 420 384 420 404 424 340 424 412 388 472 360 476 376 396 428 444 366 436 364 440 330 426

**解 最小值x1?330,最大值x100?556, 故(a, b]可取为(329, 559], 将(a, b]分为长度为23的10个区间, 列出频数与频率表如下： 序号 组(ti-1, ti), 频数 频率 1 (329, 352] 2 0.067 序号 6 组(ti-1, ti) (444, 467] 频数 0 频率 0 37

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第五章 第38页 (共57页)

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(352, 375] (375, 398] (398, 421] (421, 444] 3 5 5 11 0.1 0.167 0.167 0.367 7 8 9 10 (467, 490] (490, 513] (513, 536] (536, 559] 2 1 0 1 0.067 0.033 0 0.033 合计： 30 1

由于第6组与第9组频数为0，可将其与下一组合并。合并数据为8组，结果如下表：

序号 组(ti-1, ti), 频数 频率 序号 组(ti-1, ti) 频数 频率 1 2 3 4 5 (329, 352] (352, 375] (375, 398] (398, 421] (421, 444] 2 3 5 5 11 0.067 0.1 0.167 0.167 0.367 6 7 8 合计 (444, 490] (490, 513] (513, 559] 2 1 1 30 0.067 0.033 0.033 1

根据表上数据作出直方图，如下图所示：

y f(x) O

329 559 x 再用组中值的频率分布

组中间值 340.5 363.5 386.5 409.5 432.5 频率 0.067 0.1 467 501.5 534 0.167 0.167 0.367 0.067 0.033 0.033

可求出经验分布函数F30(x).

?0,?0.067,??0.167,??0.333,?F30(x)??0.5,?0.867,??0.933,??0.967,??1,2

x?340.5,340.5?x?363.5,363.5?x?386.5,386.5?x?409.5,409.5?x?432.5, 432.5?x?467,467?x?501.5,501.5?x?534,534?x.2X?i?1.44). i?1108. 设X1，X2，?，X10为N（0，0.3）的一个样本，求P(解 由于Xk是来自N(0, 0.32)的样本，则

Xk?0~N(0,1)，k=1,2,…,10，所以有 0,338

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第五章 第39页 (共57页)

21102?Xk??Xk? 服从自由度n=10的?2分布. ?????0.09k?1k?1?0.3??102??1102?因此P??Xk?1.44??P?Xk?16? ??k?1??0.09k?1?2查表可知，?0.1(10)=15.987 ?102?故P??Xk?1.44??0.1

?k?1? 29. 查x分布表求下列各式中λ的值：

（1）P(?2(8)??)?0.01;

（2）P(?2(15)??)?0.01.

2解 (1) P(?2(8)?) = 0.99, 查表得?0.99(8)?1.646, 即??????? (2) 查表得???????????

10. 查t分布表求下列各式中λ的值：

（1）P(t(8)??)?0.95;

（2）P(t(15)??)?0.95;

解 (1) P?t(5)????1?P?t(5)????0.95,P?t(5)????0.05,

查表得??2.015.

(2) Pt(5)???P????t(5)????1?2P?t(5)????0.95

10??P?t(5)????0.025,查表得??2.5706

11. 查F分布表求下列各式的值：

（1）F0.95(10,9);

（2）F0.05(10,9).

解 (1) F0.95(10,9)?1/F0.05(9,10)?1/3.02?0.3311 (2) F0.05(10,9)?3.14

12. 已知X～t(n)，求证X2～F(1, n).

证明 因为X～t(n), 由定义, 存在相互独立的随机变量T与Y，使得X?T/Y/n, 其

中T~N(0,1),Y~?(n), 又因T与Y相互独立，故T2与Y相互独立，

2T2~?2(1)，Y~?2(n), 则

T2T2/1X??Y/nY/n2F(1,n).

213. 设X1，X2，?，Xn是来自?(n)分布 的样本，求样本均值X的数学期望和方差. 解 由于Xk~?(n), k=1,2, …, n, 则E(Xk)?n,D(Xk)?2n

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概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第五章 第40页 (共57页)

1n?1n?1n E(X)?E??Xk???E?Xk??????

nk?1?nk?1?nk?11n??1n?1n D(X)?D??Xk??2?D?Xk??2???

nk?1n?nk?1?nk?1E?Xk2??E?Xk(Xk?1)?Xk???E?Xk(Xk?1)??E?Xk???k(k?1)k?0?kk!e????

??e2???(k?2)!??k?2??k?2??2??2??1n2??EX?E???Xk??

??nk?1?????1?n2???E?2??Xk?2?XiXj??

?nk?1?i?j???????1?n2?2??E?Xk??2E??XiXj??

?n??i?j???k?1?1?n2?2????????2?E?Xi?E?Xj?? n?k?1i?j?122?2?n?2?n??2Cn?? n1?2?n?2?n??n(n?1)?2? n????2 n??或者

EX??2?DX?E(X)????2??n??2

2???1?n2E(S)?E???Xk?nX??

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n?1?n????k?11?n?2?n?????n?2? n?11?(n?1)??? n?1??

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