(全国通用版)高考数学一轮复习第七章立体几何课时分层作业四十二7.2空间几何体的表面积与体积(理)

【解析】选C.结合题设中提供的图形信息可知:当容器底面一边BC固定时,BC∥FG∥A1D1,故由线面平行的判定定理可知结论“棱A1D1始终与水面EFGH平行”成立;同时由于四边形ABFE≌四边形DCGH,且互相平行,则由棱柱的定义可知结论“水的部分始终呈棱柱状”正确;如图,由于水平放置时,水的高度是定值,所以当一部分上升的同时,另一面下降相同的高度,因为BF=h-FD,AE=h+D1E且FD=D1E,所以BF+AE=h-FD+h+D1E=2h(定值),即结论“若E∈AA1,F∈BB1,则AE+BF是定值”是正确的;因为水面四边形EFGH的边长在变化,因此其面积是变化的,故结论“水面四边形EFGH的面积为定值”的说法不正确.即命题①③④是正确的.

【题目溯源】本题来源于人教A版必修2P29A组第4题.

【变式备选】水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD-A1B1C1D1,其中装有V的水,给出下列操作与结论:

①把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱BC保持在桌面上,这个过程中,水的状态始终是柱体; ②在①中的运动过程中,水面始终是矩形;

③把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体内一个定点; ④在③中的转动中水与容器的接触面积始终不变.

以上说法正确的是__________.(把所有正确命题的序号都填上)

【解析】①水的部分始终呈棱柱状;从棱柱的特征及平面ABFE平行平面DCGH即可判断①正确;如图, ②在①中的运动过程中,水面四边形EFGH的对边始终保持平行,且EF⊥FG,故水面始终是矩形,②是正确的;

③由于始终装有V的水,而平分长方体体积的平面必定经过长方体的中心,即水面始终过长方体内一个定点;所以结论③正确;

④在③中的转动中水与容器接触时,由于水的体积是定值,所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半,故始终保持不变,所以④正确.

答案:①②③④

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.如图直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为______________.

【解析】由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,所以

∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边

长为x.在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),

所以即x=所以答案:

+=1,

,则AB=AC=1,

=

2

×1=.

9.(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm,体积是

3

________cm.

【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长、宽、高分别为4,2,2,所以体积为

3

2×(2×2×4)=32(cm),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为

2

2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm). 答案:72 32

10.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的高为__________.

【解析】设圆锥底面半径是r,母线长为l,所以πr+πrl=π,即r+rl=1,根据圆心角公式π=

22

,即

l=3r,所以解得r=,l=,那么高h=

答案:

=.

【变式备选】已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°,则该圆锥的底面半径与母线长的比为__________.

【解析】设圆锥的母线长是R,则扇形的弧长是设底面半径是r,

=,

则=2πr,所以r=,

所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.

答案:

1.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )

A.18+36

B.54+18

C.90 D.81

【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.

【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为宽为3,长为3

的矩形,前后为底边长为3,且底边上的高为6的平行四边形,所以

+9

=54+18

.

S=9+9+18+18+9

2.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为 ( )

A.90π B.63π C.42π D.36π

【解析】选B.由三视图知,该几何体为一个底面半径为3,高为4的圆柱和一个底面半径为3,高为6的圆柱

的一半,故其体积为V=×π×3×6+π×3×4= 63π.

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3.(10分)已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小球慢慢上浮.

当注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切(小球完全浮在水面上方),求小球的表面积.

【解析】由题意,没有水的部分的体积是三棱锥体积的,

因为三棱锥的各棱长均为4,所以三棱锥体积为××4×

2

=,

所以没有水的部分的体积是,

设其棱长为a,则×所以a=2.

a×

2

a=,

设小球的半径为r,则4×××2r=

2

,

所以r=,

所以小球的表面积S=4π·=π.