2018年四川省资阳市高考数学二诊试卷（理科）

所以直线MN的斜率．

②设直线MN的方程为，联立方程组，

消去y得x2+mx+m2﹣3=0， 所以，

原点

O

到直线的距离

，△OMN

得面积，

当且仅当m2=2时取得等号．经检验，存在r（），

使得过点

的两条直线与圆（x﹣1）2+y2=r2相切，

且与椭圆有两个交点M，N． 所以△OMN面积的最大值为．（12分）

21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．

（1）当

时，判断函数f（x）的单调性；

（2）当f（x）有两个极值点时， ①求a的取值范围；

②若f（x）的极大值小于整数m，求m的最小值． 【解答】解：（1）由题f′（x）=，（x＞0）

方法1：由于，﹣ex＜﹣1＜0，（﹣x2+3x﹣3）ex＜﹣，

又

，所以（﹣x2+3x﹣3）ex﹣a＜0，从而f'（x）＜0，

于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）

方法2：令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）ex﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）ex，

为

当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数； 当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数． 故h（x）在x=1时取得极大值，也即为最大值． 则h（x）max=﹣e﹣a．由于

，所以h（x）max=h（1）=﹣e﹣a＜0，

于是f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）

（2）①令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）ex﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）ex， 当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数， 当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数， 当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．

由于f（x）有两个极值点，所以f'（x）=0有两不等实根， 即h（x）=0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2）， 则

，解得﹣3＜a＜﹣e，

②可知x1∈（0，1），由于h（1）=﹣e﹣a＞0，h（）=﹣＜0，则而f′（x2）=

．

=0，即

=

﹣a＜﹣+3

（#）

所以g（x）极大值=f（x2）=令

，于是

，则（*）可变为

，（*）

，

可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，

下面再说明对于任意﹣3＜a＜﹣e，又由（#）得a=所以当

（﹣

，f（x2）＞2．

，

+3x2﹣3），把它代入（*）得f（x2）=（2﹣x2）

＜0恒成立，

时，f′（x2）=（1﹣x2）

故f（x2）为的减函数，所以f（x2）＞f（）=＞2，

所以满足题意的整数m的最小值为3．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为

参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值． 【解答】[选修4﹣4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）∵直线l的参数方程为（其中t为参数），

∴消去参数t，得l的普通方程x﹣y﹣1=0．

∵曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ， ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．（4分） （2）设P（x，y），M（x0，y0），则

，

由于P是OM的中点，则x0=2x，y0=2y，所以（2x）2+（2y﹣2）2=4，

得点P的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=1，轨迹为以（0，1）为圆心，1为半径的圆． 圆心（0，1）到直线l的距离所以点P到直线l的最小值为

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）． （1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；

．

．（10分）

（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围． 【解答】[选修4﹣5：不等式选讲]（10分）

解：（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6，即为|2x﹣4|+|x﹣2|≥6， 所以|x﹣2|≥2，即x﹣2≤﹣2或x﹣2≥2， 原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（4分）

（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|， 即关于x的不等式|2x+a|+|4﹣2x|≥3a2恒成立． 而|2x+a|+|4﹣2x|≥|a+4|， 所以|a+4|≥3a2，

解得a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2， 解得

或a∈?．

．（10分）

所以a的取值范围是