2020高考数学总复习 优编增分练：高考解答题分项练(四)解析几何

64k256k－4

所以x1＋x2＝，xx＝1222，

1＋4k1＋4k0－24

又kPM＝＝－，

1158－2所以kPA＋kPB＝

22

y1－2y2－2

1x1－

2

＋

1x2－

2

＝

kx1－8k－2kx2－8k－2

1x1－

2

＋

1x2－

2

?1＋1?15??11? ＝2k＋?－k－2??

?2??x1－2x2－2?

???15?＝2k＋?－k－2?

?2?

?x1＋x2?－1

11x1x2－?x1＋x2?＋

24

2

64k2－11＋4k15??＝2k＋?－k－2?

?2?256k2－4164k21

2－×2＋1＋4k21＋4k4

?15?60k－1＝－8＝2k，即证．

＝2k＋?－k－2?PM15?2?152

4

?60k－1?

2

x2y2

4．(2018·江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A(－

ab3??2,0)，且点?－1，?在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的2??直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标； (3)若F1C⊥AB，求k的值．

??a＝b＋c，

解 (1)由题意得?

19??4＋4b＝1，

2

2

22

a＝2，

?a＝2，

解得?b＝3，

?c＝1.

5

∴椭圆E的标准方程为x2y2

4＋3＝1.

(2)∵△CF1F2为等腰三角形，且k>0， ∴点C在x轴下方，

①若F1C＝F2C，则C(0，－3)；

②若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－3)； ③若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－3)， ∴C(0，－3)．

∴直线BC的方程为y＝3(x－1)，

??y＝3?x－1?，由??x2y2

?4＋3＝1，

?x＝0，?x＝8，得?

?y＝－3

或??

5??y＝335，

∴B??8?5，33?5??

. (3)设直线AB的方程lAB：y＝k(x＋2)，

?y＝k?x由?＋2?，?x22

2＋y＝得(3＋4k)x2＋16k2x＋16k2

－12＝0，??43

1，

2

∴x2x16k－12AxB＝－B＝3＋4k2，

2

∴x＝－8k＋612kB3＋4k2，∴yB＝k(xB＋2)＝3＋4k2，

2

∴B??－8k＋6?3＋4k2，12k3＋4k2???

，

若k＝12，则B??3?1，2???，∴C??3?1，－2???，

∵F，∴kCF3

1(－1,0)1＝－4，

∴F不垂直，∴k≠1

1C与AB2

.

∵F4k1

2(1,0)，kBF2＝1－4k2，kCF1＝－k，

∴直线BF2的方程lBF2：y＝

4k1－4k2(x－1)， 直线CF的方程lCF1

11：y＝－k(x＋1)．

6

??y＝4k1－4k2

?x－1?，由???y＝－1

k?x＋1?，

2

解得???

x＝8k－1，

??y＝－8k，

∴C(8k2

－1，－8k)．

2

2

2

又点C在椭圆上，得?8k－1??－84＋k?

3＝1，

即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2

＝124，

∵k>0，∴k＝612

. 7