3.1.2用二分法求方程的近似解(教学设计)完美版

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）

教学目标：

知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 一、复习回础，新课引入：

高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y?f(x)的零点（即f(x)?0的根），对于f(x)为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 二、师生互动，新课讲解：

1、二分法：

上节（P88例1）课我们已经知道，函数f(x)?lnx?2x?6在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．

我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)?0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．

（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；

（2）用计算器计算f(2.5)??0.084，因为f(2.5)?f(3)?0，所以零点在区间(2.5,3)内；

（3）再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)?0.512，因为f(2.5)?f(2.75)?0，所以零点在区间

(2.5,2.75)内．

（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值． 本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．

当精确度为0.01时，由于2.5390625?2.53125?0.0078125?0.01，所以，我们可将x?2.53125作为函数f(x)?lnx?2x?6零点的近似值，也即方程lnx?2x?6?0根的近似值．

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．

给定精确度?，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

1）确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)?0，给定精确度?； 2）求区间(a,b)的中点c； 3）计算f(c)；

4）判断：（1）若f(c)?0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)?f(c)?0，则令b?c（此时零点x0?(a,c)）；（3）若f(c)?f(b)?0，则令a?c（此时零点x0?(c,b)）．

5）判断：区间长度是否达到精确度?？即若a?b??，则得到零点近似值；否则重复2——5．

说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．

例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程2?3x?7的近似解（精确到0.1）．

x 小结：

1） 结论：图象在闭区间[a，b]上连续的单调函数f(x)，在(a，b)上至多有一个零点． 2） 函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使f(x)?0的实数；

从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； 若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． 3） 用二分法求函数的变号零点

二分法的条件f(a)·f(b)?0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．

变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．

解 设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，

∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0， ∴2

再取2与2.5的平均数2.25，

∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25

∴2.3750.

∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，

∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.

点评 对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．

例2：已知函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是

① 若f(a)?f(b)?0，则函数f(x)在(a,b)内有且只有一个零点 ② 若f(a)?f(b)?0，则函数f(x)在(a,b)内无零点 ③ 若f(x)在(a,b)内有零点，则f(a)?f(b)?0 ④ 若f(a)?f(b)?0，则函数f(x)在(a,b)内有零点 ⑤ 若f(a)?f(b)?0，则函数f(x)在(a,b)内有零点

【解析】①有条件f(a)?f(b)?0，则函数f(x)在(a,b)内可能不止一个零点，如f(x)?x?4x有（－3，3）内有三个零点；②在f(a)?f(b)?0下函数f(x)在(a,b)内未必没有零点，如f(x)?x?4在（－3，3）内有两个零点；③f(x)在(a,b)内有零点，f(a)?f(b)?0未必成立，如f(x)?x?4在（－3，3）内有零点，但f(?3)f(3)?0；④注意端点问题，可能a,b恰好使得f(x)＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤

变式训练2：（课本P92习题3.1 A组：NO：1）

例3：已知函数f(x)?kx?2x?1，当k为何值时，函数f(x)在R上有一个零点？两个零点？无零点？

【解析】 当k＝０时，f(x)是一次函数，在R上有且只有一个零点；当k?0时，f(x)是二次函数，其零点个数由?的符号决定．又??4?4k，当k?1时，??0，f(x)无零点；当k?1时，??0，f(x)有一个零点；当

2223k?1,k?0时，??0，f(x)有两个零点．综上所述，当k＝０或k?1时，函数有一个零点；当k?1,k?0时，函

数有两个零点；当k?1时，函数没有零点．

变式训练3：函数f(x)?x?ax?b的零点是－１和２，求函数g(x)?ax?bx的零点．

解：由已知得?1,2是方程x?ax?b?0的两根,

223?1?a?b?0,解得:a??1,b??2 ???4?2a?b?03由?x?2x?0得:x(x?2)?0,即x?0.

2故函数g(x)的零点是0. 三、课堂小结，巩固反思：

1．二分法的理论依据是什么？

二分法的理论依据是：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续不断，且f(a)?f(b)?0，那么一定存在c?(a,b)，

使f(c)?0．

2．二分法的实施要点是什么？

二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间[a,b]平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n次的平分、判断，使零点存在于一个长度l?确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值． 四、布置作业： A组：

1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )

A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx 答案 C

解析 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0， 即函数f(x)＝|x|存在零点；

当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，

∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点． 2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( B )． A．至少有一个 B．至多有一个 C．有且只有一个 D．可能有无数个

x

3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝e＋4x－3的零点所在的区间为( )．

111113－，0? B. ?0，? C.?，? D.?，? A.??4??4??42??24?

1?111?1?＝e1＋4×1－3＝e1－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为解析 因为f?＝e＋4×－3＝e－2＜0，f?4?4?2?24422

?1，1?. ?42?答案 C

4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：

b?a的小区间．当n适当大时，l满足精n2

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 。（答案：1.437 5 ）

5．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )

A．5次

B．6次 C．7次

D．8次

11

解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为2，22111

第3次二等分后区间长为3，…，第n次二等分后区间长为n.依题意得n<0.01，∴n>log2100.由于6

222即n＝7为所求．

答案：C

6

6.[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )

x

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)

6

6．C [解析] 方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.

x7．方程lnx?2x?6?0在区间上的根必定属于区间（ B ）