关于Jordan标准形及其应用 数学毕业论文

巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

?1?2?2??， P???1?10????0?1?1??则可求得

?10?2??， P?1???1?12????11?3??此时还有

f(A)=Pf(J)P?1?Pdiag(f(J1))P?1=

?1?2?2??f(1)??1?10??0?????0?1?1????00f(1)00??10?2???166???1?12? = ?? f'(1)?123?????f(1)?????11?3???134??其中f'(1)是f(?)在1处的导数值.

例3.2.2 ?数域P上的线性空间V中存在一变换?，且?为线性变换，它的特

32征多项式和最小多项式分别是f???，?，m???，并且f???=???1???-2????3?

m???=???1???-2????3?.

2（1）求?的所有不变因子； （2）写出?的若当标准形。

解 （1）设线性变换?在某一组基下的矩阵为A，A?P6?6.计算可得

d6???=m??????1???-2????3?，

2D5???=

D6???f???==???1???-2?. d6???d6???所以d5??? = ???1???-2?，d4??? = d3??? = d2??? = d1??? = 1. 因此A的所有不变因子为1,1,1,1,???1???-2?，???1???-2????3?.

2(2) 因为A的初等因子为??1，???1?，?-2，?-2，?-3。所以A的若

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Jordan标准形及其应用

?-1????11???1?. 当标准为（不计若当块次序）?-3???2????2???以上我们可以知道Jordan标准形的引入对计算矩阵多项式起到了很大的简化作用。

3.3 在计算行列式中的应用

在上面我们知道了Jordan标准形有着简化计算的作用，现在我们研究一下在求行列式的过程中，Jordan标准形是不是也能起到很好的作用呢？

?254?1?2Dn?例3.3.1 求行列式

14540?0?0?0?1?2??0?014. 5?4?1?251??????244??51解：Dn?2Dn?1?Dn?2?Dn?3,A???100?,我们可以很容易得到A44?0?10?????1??的特征矩阵的初等因子为：????,???1?,

2??2所以A的Jordan标准形为

?1??2????0J2????0??1120?0??0?, ?1????J1J????且求得

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巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）

?1???41T????2??1???1202??1??8?102?????1??1.,T??2?31?,

???44?1??1?????所以有 T?1AT?J,A?TJT?1,An?4?TJn?4T?1. 而此时

?1n?4?(?)?2????0n?4??J2??0??1(n?4)()n?521(?)n?420?0??0?， ??1???Jn?4?J1n?4????又有

5119?2?， T1??2,T2???,D?3444?1?2所以

n?5??1?n?4?1??????n?4???0??7????2???2??4?D3??n?4??11?51?n?4?1?????1?Dn???2,,??TJT?D2??00?????2-n3?2n?4?39n??44???4???2??D???1??001???2???????????

以上内容充分反映了Jordan标准形在这个计算过程的应用。

??

3.4 在求解线性微分方程组中的应用

现在我们引入在解线性方程组中Jordan标准形的应用,看看Jordan是不是依然能起到很好的作用?

例3.4.1[10] 求解以下线性微分方程组

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Jordan标准形及其应用

??1'(t)??1??2??3? ??2'(t)?5?1?21?2?17?3

??'(t)??6??26??21?123?3?1?1???1(t)??1?,A??5?21?17? ?(t)解：在此我们可以令x（t）=?2??????21???3(t)????626?则微分方程组的矩阵形式就为准形为：

dX(t)?AX(t)，另外我们可以求得A的若尔当标dt?010??， J??000????00?1??也可以求得它的变换矩阵T为

??11?1??， T??32?1?????4?21??则此时

T?1AT=J.

我们作线性变换X?t?=TY?t?,其中的Y?t?=??1?t?,?2?t?,?3?t??,

T则有

dY(t)=T?1AX?t?=T?1ATY?t?=JY?t?， dt即可以得到

??1'(t)??0?10???1(t)???2(t)??'?????(t)?=?0?， 000=?(t)?2????2???'??3(t)??????3(t)???????001???3(t)??''或者?1'(t)=?2(t)，?2（t）=0，?3（t）=—?3（t）

那么它的一般解就是?1'(t)=k1+k2t，?2(t)=k2，?3（t）=k3e?1

我们再由X(t)?TY(t),就可以求得原微分方程的一般解为

??1(t)?k1?k2(t?1)?k3e?1??1??2(t)??3k1?k2(3t?2)?k3e ??1??3(t)?4k1?2k2(2t?1)?k3e??

其中的k1，k2，k3是任意的常数,

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