六年级奥数比和比例

第二讲 比和比例

教学目标：

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内

容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例

xaabybxy ① ? ? ?； ?； ?；

ybxyxaabxamxaxma② ? ? (其中m?0)； ?； ?ybmybymbxaxax?ya?bx?ya?b③ ? ? ； ； ；L ???ybx?ya?bx?ya?bxaxaycxac④ ?，? ? ?；x:y:z?ac:bc:bd；

ybzdzbdcdadbc⑤ x的等于y的，则x是y的，y是x的．

abbcad三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配

例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配

ax到的物体数量与x的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到个，乙分

a?bbx配到个.

a?b⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么A的元素数

axbx量为，B的元素数量为，所以解题的关键是求出?a?b?与a或b的比值．

a?ba?b四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题

例题精讲：

模块一、比例转化

11【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，

235丙等于甲、乙两数和的，求甲:乙:丙.

7

22【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的，那么甲的、乙

33的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？

4【例 3】 如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面

511积占圆A面积的，圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积

651占圆C面积的．求圆A、圆B、圆C的面积之比．

3ABC

【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙

三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．

【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程

队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、

丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、 丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？

【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等； ②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两 个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应

【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的 人数比为13:11，求一共有多少个苹果？

【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本 求他们三人各自的藏书数量.

【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18

元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．

11【巩固】 有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的相等，求两个

23班各分到多少皮球？

【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二 班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．

【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比 为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比 四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?

【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问

圆珠笔的单价是每支多少元?

甲A【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，

结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长．

C 乙 B

【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，

相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？

【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15

分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件

用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

【例 14】 A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是

11空的；若将A桶水的全部和B桶水的，或将B桶水的全部和A桶水的倒入C桶，C桶

53都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？

1【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级

223学生的，等于四年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？

57