巧用先后原则妙解排列组合题

巧用先后原则 妙解排列组合题

邹娇变

排列组合题是高中数学的难点之一，学生解题时往往无所适从或经常发生“重”或“漏”的错误．其原因是没有把握排列组合题的解题关键．女口果，我们遵循一定的先后原则，就可以避免上述错误的发生，还可以触类旁通，找到解题的技巧和规律。

一、先分类后分步 例1：在12名男生和10名女生中，选4名代表去参加一个会议，要求有两种性别的代表，有多少种不同的选法?

解：依题意要选出4名两种性别的代表，先把代表 的不同选法分成三类：第一类选1名男生，3名女生，第二类选2名男生，2名女生，第三类选3名男生1名女生，再将每一类分成两步完成，如第·类

13中第一步选男生有C12种，第二步选女生有C10种，所以不同的选法一

132231共有C12C10?C12C10?C12C10?6610种．

二、先分步后分类

例2：某人从正面上山有2条路，从背面上山有3条路，那么此人上山、下山—趟有多少种走法?

解：先把此人的一趟山路分成两步，第一步是上山，第二步是下山，再把每一步分成“从正面走”和“从背面走”两类，因此，共有的走法是(2+3)×(2+3)=25种。

掌握以上两个原则的关键在于弄清分类计数原理和分步计数原理的内涵以及两个基本原理的联系和区别，联系是求完成某件事的方法的种数，区别在于某种方案是能够完瞍整个任务的一类还是只能完成整个任务的一个步骤．

三、先特殊后一般

例2：7名同学排删}，其中甲不站在排头，也不站在排尾，共有多少种站法?

分析：因甲既不站在排头也不站在排尾，所以甲是特殊元素，排头、排尾是特殊位置。

解法1(先满足特殊元素)：甲站第二、三、四、五、六个位置中

1任选一个有A5种站法，其余元素做全排列有A66种站法，这样共有16A5A6?3600种站法。

解法2(先满足特殊位置)：从除甲外的其余6个元素中任取2个元素排在头和尾有A62种，共有A62A55=3600种站法。

这—原则常用来解决有条件限制的排列问题，做法是排列应用题抽象成“元素”占“位”问题，先满足特殊元素或特殊位置，后排其他的—般元素或位置，常称“优限法”。

四、先任意排再剔除

例3：从0．9的9个数字中任选3个数字，能组成 多少个不同的三位数?

解：从0。9的10个数字中选3个数字的全排列有A二种，其中0被选出并放在首位的“三位数”有A92种要剔除掉，因此，符合条

32件的三位数有A10?A9?648个。

有些带有附加条件的问题或从正面人手不方便的问题，可以先从整体着手，求出不考虑限制条件的组合数或排列数，再剔除不符合条件的组合数或排列数，这是间接法的一种，常称“去杂法”。

综上所述，只要我们善于从多个角度去分析问题，用不同的途径去思考推敲，正确地运用一定的先后原则，解排列组合题的能力就会得到提高。