2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修1

大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。2.2.2 椭圆的几何性质

[基础达标]

1．椭圆x＋my＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．

y2x2?1?1212

解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1?>1?，故a＝，b＝1，所以a＝，b11mm?m?

2

2

m＝1,2

1

＝4，解得，m＝，符合题意． m41答案： 4

2．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0

，则长轴的最大值是________． 2

1

c2a2－b2a2－1

解析：由e＝2＝2＝2，

aaa2

a－13得0<2≤，

a42

解得1

故1

2

答案：4

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

222

解析：由题意知2b＝a＋c，又b＝a－c，

2222

∴4(a－c)＝a＋c＋2ac.

22

∴3a－2ac－5c＝0，

22

∴5c＋2ac－3a＝0.

2

∴5e＋2e－3＝0，

3

∴e＝或e＝－1(舍去)．

53答案： 5

→→

4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

解析：结合图形(图略)，转化为c

2??

答案：?0，?

2??

x2y2

5．设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°，

ab∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________．

解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理，

PF1PF2F1F2

得＝＝＝2c，

sin 15°sin 75°sin 90°

PF1＋PF2

∴＝2c. sin 15°＋sin 75°

由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a.

1

大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。代入上式，有e＝＝答案：

6 3

c16

＝.

asin 75°＋sin 15°3

x2y2

6．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相

ab切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心

率的取值范围是________．

b2Acπ

解析：由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos 0>cos＝>cos，

a2r4

2c2ac2e5－1??6－2即<<1，所以<22<1，即<，?. 2<1，解得e∈?2r2a－c21－e2??2

答案：?

5－1??6－2

，?

2??2

7．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两

2π

个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程．

3

π3

解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1

32的周长为2a＋2c＝2a＋3a＝4＋23，∴a＝2，c＝3，∴b＝1；故所求椭圆的标准方程为＋y＝1.

4

8．已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

4

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， →→

OB＝2OA，求直线AB的方程．

2

x2

2

x2

2

y2x2

解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a>2)，

a4

3a2－43

其离心率为，故＝，则a＝4，

2a2

y2x2

故椭圆C2的方程为＋＝1.

16

4

→→

(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x＝4，

442

所以xA＝2，

1＋4k将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k)x＝16，

164162

所以xB＝2，

4＋k1616→→22

又由OB＝2OA，得xB＝4xA，即2＝2，

4＋k1＋4k解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

[能力提升]

x2

222

y2x2

22

2

大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。1．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原

54

点，则△OAB的面积为________．

解析：椭圆

x2y2

x2

5

＋

y2

4

＝1的右焦点F2(1,0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由

xy??＋＝1?54??y＝x－

22

，消去y，整理得3x－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1

2

5?54? 2

则x1，x2是方程3x－5x＝0的两个实根，解得x1＝0，x2＝，故A(0，－2)，B?，?，

3?33?

4?1?5

故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝×?|－2|＋?×1＝. 3?2?3

5答案： 3

x2y23a2．设F1、F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△

ab2

F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．

解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°， ∴∠PF2x＝60°.

?3?∴PF2＝2×?a－c?＝3a－2c. ?2?

∵F1F2＝2c，F1F2＝PF2，

c3

∴3a－2c＝2c，∴e＝＝. a4

3答案： 43．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的

94

横坐标的取值范围．

解：设点P的坐标为(x，y)，F1(－5，0)，F2(5，0)， 在三角形PF1F2中， 由余弦定理得：

222PF1＋PF2－F1F2

cos ∠F1PF2＝，

2PF1·PF2

因为PF1＋PF2＝6，F1F2＝25，

36－2PF1·PF2－2016161

故cos ∠F1PF2＝＝－1≥－1＝－，

2PF1·PF22PF1·PF29?PF1＋PF2?2

2???2?

当且仅当PF1＝PF2时取等号，即 1

－≤cos ∠F1PF2≤1. 9

1

所以当－≤cos ∠F1PF2<0时，∠F1PF2为钝角．

9→→→

令PF1·PF2＝0，因为PF1＝(－5－x，－y)， →

PF2＝(5－x，－y)，则x2－5＋y2＝0， y2＝－x2＋5，代入椭圆方程得：

x2y2

3

大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。x2＝，x＝±

9535

， 5

3535

所以点P的横坐标的取值范围是－

55

x2y2

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－

abc,0)、F2(c,0)．已知点(1，e)和?e，

??3?

?都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2?

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

6

(ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；

2

(ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值．

解：(1)由题设知a＝b＋c，e＝.

2

2

2

ca2

(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.

c2

由点(1，e)在椭圆上，得2＋22＝1，

aab222

解得b＝1，于是c＝a－1.

e233??

又点?e，?在椭圆上，所以2＋2＝1，

a4b2??

2

a－132

即4＋＝1，解得a＝2.

a4

x22

因此，所求椭圆的方程是＋y＝1.

1

x1??＋y21＝1，由?2??x1＋1＝my1，

2

2

得(m＋2)y1－2my1－1＝0，

22

m＋2m2＋2解得y1＝，

m2＋2

故AF1＝

x1＋

2

＋y1－

2

＝my1

2

＋y＝21

2

m2＋＋mm2＋1

.①

m2＋2

m2＋－mm2＋1

同理，BF2＝.②

m2＋2

2

2mm＋1

(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝2，

m＋2

4