【高考数学专题复习】第八章 立体几何初步测试(解析版)

（2）证明：面PBC?面PDC；

（3）求直线PD与面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）33 【解析】(1) 取PD中点M,连接ME,MA. 因为E为棱PC的中点,所以ME?12DC且ME//DC,又AB//DC且AB?12DC, 故AB//ME且AB?ME,故四边形ABEM为平行四边形,故AM//BE, 又AM?面PAD,BE?面PAD,故BE//面PAD.

(2)因为AD?AP,故AM?PD,又PA?底面ABCD,故面PAD?面ABCD, 又面PADI面ABCD?AD,AD?AB,AB//DC,故DC?AD, 故DC?面PAD,故DC?AM.

?AM?CD所以??AM?PD ,PD?面PDC,DC?面PDC,故AM?面PDC.

??CD?PD?D又AM//BE,所以BE?面PDC.又BE?面PBC,故面PBC?面PDC. (3)V1P?BCD?3S?PA?13?12?2?2?2?4VBCD3. 又PB?PA2?AB2?5,BC?AD2?(DC?AB)2?5, PC?PD2?DC2?23.故S1VPBC?2?23?5?3?6. 故D到平面PDC的距离h满足VP?BCD?13SVPBC?h 即

413?3?6?h,所以h?263.

设直线PD与面PBC所成角为?,则sin??h26PD? 3?3223

即直线PD与面PBC所成角的正弦值为33.

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21．如图，已知平面是正三角形，.

（1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取BE的中点F. AE的中点G，连接GD，CF ∴,GF∥AB 又∵,CD∥AB ∴CD∥GF，CD=GF, ∴CFGD是平行四边形, ∴CF∥GD,

又∵CF⊥BF，CF⊥AB ∴CF⊥平面ABE

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∵CF∥DG ∴DG⊥平面ABE， ∵DG?平面ABE ∴平面ABE⊥平面ADE； （2）∵AB=BE， ∴AE⊥BG， ∴BG⊥平面ADE，

过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE， 则∠BMG为二面角A?DE?B的平面角， 设AB=BC=2CD=2，则, 在Rt△DCE中，CD=1，CE=2, ∴, 又,

由DE?GM=DG?EG得, 所以，

故面角的正切值为：.

22．如图，在三棱锥P?ABC中，G是棱PA的中点，PC?AC，且PB?AB?AC?BC?2,PC?1.

（Ⅰ）求证：直线BG?平面PAC；

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（Ⅱ）求二面角P?AC?B的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）336 【解析】（Ⅰ）连接CG，因为BP?BA，所以BG?PA. 由已知得CG?152PA?2，BG?112， 所以BG2?CG2?BC2，所以BG?CG， 又PA?CG?G，所以BG?平面PAC.

（Ⅱ）过点G作GQ?AC，垂足是Q， 因为G是棱PA的中点，PC?AC， 所以点Q是AC的中点. 连接BQ，所以BQ?AC.

所以?GQB就是二面角P?AC?B的平面角. 由（Ⅰ）知BG?平面PAC，所以BG?GQ.

因为BG?112，GQ?12PC?12，所以BQ?3

所以sin?GQB?GB33BQ?6, 即二面角P?AC?B的正弦值为

336.

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