【高考数学专题复习】第八章 立体几何初步测试(解析版)

【答案】1

【解析】在三棱锥P－ABC中，

因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC. 因为EF?平面PAC，所以EF⊥AB， 因为EF⊥BC，BC∩AB＝B， 所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF， 因为F是AC的中点，E是PC上的点， 所以E是PC的中点，所以答案：1.

三．解答题（17题10分，其余12分每题，共70分）

17．如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，且AA1?平面ABC，F，F1△ABC与△A1B1C1都为正三角形，分别是AC，A1C1的中点.

PE＝1. EC

求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF； （2）平面AB1F1?平面ACC1A1. 【答案】(1)见解析.(2)见解析.

【解析】（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，

因为F,F1分别是AC,A1C1的中点，所以B1F1∥BF,AF1∥C1F，

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根据线面平行的判定定理，可得B1F1//平面C1BF，AF1//平面C1BF 又B1F1IAF1?F1,C1FIBF?F， ∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面A1B1C1，所以B1F1?AA1， 又B1F1?AC11，A1C1IAA1?A1，所以B1F1?平面ACC1A1， 而B1F1?平面AB1F1，所以平面AB1F1?平面ACC1A1.

18．如图，在三棱锥P?ABC中，平面PAC?平面ABC，VPAC为等边三角形，AB?AC，D是BC的中点.

（1）证明：AC?PD；

（2）若AB?AC?2，求D到平面PAB的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）

3 2【解析】（1）证明：取AC中点E，连接DE，PE.

QVPAC为等边三角形，?PE?AC.

QAB?AC，D是BC的中点，E为AC中点，∴ED?AC.

又PEIED?E，?AC?平面PED.

?AC?PD

（2）方法一：取PA中点M，连接CM.

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QVPAC为等边三角形，?CM?PA. Q平面PAC?平面ABC，AB?AC，

?AB?平面PAC.?AB?CM.

又AB?PA?A，?CM?平面PAB.

QAC?2，VPAC为等边三角形，?CM?3. QD是BC的中点，

?D到平面PAB的距离的2倍等于C到平面PAB的距离. ?D到平面PAB的距离为32.

方法二：由平面PAC?平面ABC，AB?AC， 可得AB?平面PAC，则AB?PA.

AB?AC?2，VPAC为等边三角形，则S1△PAB?2?PA?AB?2.

QD是BC的中点，?S1AC△ABD?2?AB?2?1. 点P到平面ABC的距离为PE?3，设D到平面PAB的距离为d，

由VD?PAB?VP?ABD?13S13△PAB?d?3S△ABD?PE，解得d?2. 19．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?2，E为BB1中点．

（1）证明：AC?D1E．

（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．

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【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】?1?证明：连接BD

2． 3QABCD?A1B1C1D1是长方体，?D1D?平面ABCD

又AC?平面ABCD，?D1D?AC

在长方形ABCD中，AB?BC，?BD?AC 又BD?D1D?D,?AC?平面BB1D1D 而D1E?平面BB1D1D,?AC?D1E ?2?如图建立空间直角坐标系D?xyz,

???1,0,2?,????1,1,1? ?0,1,1?,?则A?1,0,0?,D1?0,0,2?,E?1,1,1?,B?1,1,0?,?AEADDE1??x,y,z?,则 设平面AD1E的法向量为?n??x?2z?0 ?y?z?0???2，?11，? 令z?1,则?n?cos?,???nDE2?1?12 ?33?62 3所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为

20．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AD?AB，AB//DC，AB?1，AD?DC?AP?2，点E为棱PC的中点.

（1）证明：BE//面PAD；

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