第10章 能量法

第10章 能量法 班级 姓名 学号 第10章 能量法

思考题

1.计算构件的变形能，在什么情况下能叠加、在什么情况下不能叠加？试举例说明。 在产生不同种类变形的外力作用下弹性体的应变能可由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。例如在轴向力和横向力作用下产生的拉弯组合变形中，就可以分别计算轴向力和横向力的应变能，总的应变能可以由这两个应变能叠加求得。 在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。例如在横向力和集中力偶产生的弯曲变形中，总的应变能就不能由这横向力和集中力偶单独产生的应变能叠加求得。

1n2.设一梁在n个广义力P?Pi?i，如何理1,P2,P3?,Pn共同作用下的外力功W?2i?1解?i的含义？

?i是在P1,P2,P3?,Pn共同作用下在Pi作用处沿Pi作用方向的位移。 3.图乘法是怎样建立的？其应用条件是什么？

图乘法是在莫尔积分的基础上针对均质等直截面杆建立的。其应用条件为：（）均质等直截面杆；（2）在图乘法应用区段，M图和M(x)必须是连续光滑曲线或直线；（3）M图为抛物线时，抛物线顶点的切线与基线平行或与基线重合。

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第10章 能量法 班级 姓名 学号 10.1 计算图示各杆的应变能

解：（a）AB段与BC段的轴力都是F，所以

F2lF2l3F2lU???2EA2E(2A)4EA（a）

（b）

2lM2(x1)M2(x2)3U??dx1??dx202EI2EI22l2l?1?3M?M???????x1?dx1??3?x2?dx2?

002EI??l????l??M2l?18EIl30（b）

10.2试用卡氏定理求解如图所示梁截面B的挠度和转角。EI为常数。

(a)

FRA?F0?qa，MA?F0l?12qa 2

解：由平衡条件可以计算出

欲求B点挠度，须在B点加一虚力F0（=0），如图(a1)所示。AC段任一截面上有

111M?x1??FRAx1?qx12?MA??F0?qa?x1?qx12?F0l?qa2

222?M?x1???x1?l? ?F0CB段任一截面有

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第10章 能量法 班级 姓名 学号 M?x2???F0x2，

应用卡氏定理，B截面的挠度为

?M?x2???x2 ?F0wB??a0l?aM?x??M?x?M?x1??M?x1?22dx1??dx20EI?F0EI?F01?EI?a01212?1?F?qax?qx?Fl?qax?ldx?????011011??22EI?????Fx???x?dx0022l?a2qa3 ??4l?a?(向下)24EI

欲求B点转角，须在B点加一虚力偶矩Me0（=0），如图(a2)所示。由平衡条件可以计算出固定端处的反力为

??qa，MA?Me0?FRAAC段任一截面上有

12qa 2111?x1?qx12?MA??qax1?qx12?Me0?qa2 M?x1??FRA222?M?x1???1

?Me0CB段任一截面上的弯矩方程为

?M?x2?M?x2???Me0， ??1

?Me0应用卡氏定理，B截面的转角位

l?aM?x??M?x?M?x1??M?x1?22dx1??dx20EI?Me0EI?Me0?B?? ?a01EI?a01212?1?qax?qx?M?qa?1dx???11e01??22EI?????M???1?dx0e0l?a2

qa3 ?(顺)6EI10.3试用图乘法求图示各梁截面B的挠度和转角。EI为常数。

解：(a) 载荷作用下弯矩图如图(a1)所示，在B处作用单位载荷时弯矩图如图(a2)所示，在B处作用顺时针单位力偶时弯矩图如图(a3)所示。则

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第10章 能量法 班级 姓名 学号 (a)

(a1) (a2) (a3)

B截面的挠度为

311qa2?a?qa?4l?a? wB????a??l???（向下）EI32424EI??B截面的转角为

11qa2qa3?B????a?1?（顺）

EI326EI (b) 载荷作用下弯矩图如图(b1)所示，在B处作用单位载荷时弯矩图如图(b2)所示，

在B处作用顺时针单位力偶时弯矩图如图(b3)所示。则

(b)

(b1)

(b2) (b3)

B截面的挠度为

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