数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

第三章 函数逼近与曲线拟合

1． f(x)?sin解：

?2x，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式B1(f,x)及B3(f,x)。

?f(x)?sin?2,x?[0,1]

伯恩斯坦多项式为

kBn(f,x)??f()Pk(x)

nk?0其中Pk(x)???xk(1?x)n?k 当n?1时，

n?n??k??1?P0(x)???(1?x)

?0?P1(x)?x?B1(f,x)?f(0)P0(x)?f(1)P1(x)?1??????(1?x)sin(?0)?xsin22?0??x当n?3时，

?1?P0(x)???(1?x)3?0??1?22P1(x)???x(1?x)?3x(1?x)?0??3?P2(x)???x2(1?x)?3x2(1?x)?1??3?P3(x)???x3?x3?3?

k?B3(f,x)??f()Pk(x)nk?0?0?3x(1?x)2?sin?3?6?3x2(1?x)?sin?3?x3sin?2

3332x(1?x)2?x(1?x)?x3225?33333?623?x?x?x222?1.5x?0.402x2?0.098x32． 当f(x)?x时，求证Bn(f,x)?x 证明：

若f(x)?x，则

kBn(f,x)??f()Pk(x)

nk?0k?n?????xk(1?x)n?kk?0n?k?nkn(n?1)?(n?k?1)k??x(1?x)n?kk!k?0nn(n?1)?[(n?1)?(k?1)?1]k??x(1?x)n?k(k?1)!k?1nn?n?1?kn?k ????x(1?x)k?1?k?1?n?n?1?k?1(n?1)?(k?1)?x???x(1?x)k?1?k?1?n

?x[x?(1?x)]n?1?x3．证明函数1,x,?,x线性无关 证明：

若a0?a1x?a2x???anx?0,?x?R

分别取x(k?0,1,2,?,n)，对上式两端在[0,1]上作带权?(x)?1的内积，得

kn2n

??1??1??a0??0?n?1??a??0????????1???? ????????1??????1????an??0?2n?1??n?1?此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， ?只有零解a=0。

?函数1,x,?,xn线性无关。

4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f?,f1与f2：

(1)f(x)?(x?1)3,x?[0,1](2)f(x)?x?1,2

(3)f(x)?xm(1?x)n,m与n为正整数， (4)f(x)?(x?1)10e?x

解：

(1)若f(x)?(x?1)3,x?[0,1]，则

f?(x)?3(x?1)2?0

?f(x)?(x?1)3在(0,1)内单调递增

f??maxf(x)0?x?1?max?f(0),f(1)? ?max?0,1??1f??maxf(x)0?x?1?max?f(0),f(1)? ?max?0,1??1f2?(?(1?x)dx)0161211712?[(1?x)]07

?77

(2)若f(x)?x?1,x??0,1?，则 212

ff??maxf(x)?0?x?110??f(x)dx111?2?1(x?)dx221?4f

21

?(?f(x)dx)

0

1

2

12

121

?[?(x?)dx]2

023?6

(3)若f(x)?xm(1?x)n,m与n为正整数

当x??0,1?时,f(x)?0

f?(x)?mxm?1(1?x)n?xmn(1?x)n?1(?1) n?mm?1n?1?x(1?x)m(1?x)mm)时,f?(x)?0 n?mm)内单调递减 ?f(x)在(0,n?mm,1)时,f?(x)?0 当x?(n?mm,1)内单调递减。 ?f(x)在(n?m当x?(0,x?(

m

,1)f?(x)?0n?m

f??maxf(x)?

0?x?1

?m?

?max?f(0),f()?

n?m??

mm?nn?

(m?n)m?n