2019年江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考数学(理)试题及答案

（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选3人，记?表示抽到“极满意”的人数，求?的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在棱台ABC?FED中，?DEF与?ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面

ABC?平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC?CD,CD?1，点G为?ABC的重

心，N为AB中点，AM??AF(??R,??0)， （1）当??

2

时，求证：GM//平面DFN； 3

（2）若直线MN与CD所成角为弦值.

20.（本小题满分12分）

?，试求二面角M?BC?D的余3x2y2已知椭圆C:?2?1(0?b?3)的左右焦点分别为E,F，过点F作直线交椭圆C于A,B

9b 两点，若AF?2FB且AE?AB?0. （1）求椭圆C的方程；

（2）已知圆O为原点，圆D:(x?3)?y?r(r?0)与椭圆C交于M,N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM,PN与x轴分别交于点R,S,求证：|OR|?|OS|为常数.

21.（本小题满分12分）

若?x?D,总有f(x)?F(x)?g(x),则称F(x)为f(x)与g(x)在D上的一个“严格分界函数”.

222x2（1）求证：y?e是y?1?x和y?1?x?在(?1,0)上的一个“严格分界函数”；

2x（2）函数h(x)?2ex?M1在x?(?1,0)恒成立，求M的?2，若存在最大整数M使得h(x)?1?x1013值.（e?2,718…是自然对数的底数，2?1.414,2?1.260）

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为?轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）设点

?x?2cos?（?为参数）.以坐标原点为极点，以x?y?2?2sin?M的极坐标为（2,?4），过点

M的直线?与曲线C相交于A,B两点，若

|MA|?2|MB|，求AB的弦长．

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

选修4-5：不等式选讲

设f(x)?x?1?x?1，（x?R） （1）求证：f(x)?2；

（2）若不等式f(x)?2b?1?1?b对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围.

b江西省重点中学协作体20xx届高三第一次联考

数学（理科）试卷参考答案

一、选择题

1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD

12.详解：解析：设点P(x0,y0)则Q(x0,?y0)，所以m?kAP?y0?y0,n?kBQ?，即x0?ax0?a222x0y0b2b2y0222m?n?22，又2?2?1，即y0?2(x0?a)，所以m?n??2，则

abaaa?x02ba12baa2b2???ln|m|?ln|n|????ln2ab2|mn|ab2b2a，令

x?ba则

112baa2b211??lnx，由??2?ln2?2x???lnx，考查函数f(x)?2x?ab2bax2xx2xf'(x?)(x?1)(x2?2x2，知x?(0,)时f(x)单调递减，x?(,??)时f(x)单调递减，所以当

1)12121b2116x?时，f(x)取得唯一极小值即为最小值，此时2?，所以e?1??

22a22二、填空题

13. 20 14.

2 15. 3 16. 1?a?2 3b2?a2?ac,a2?c2?b2?2ac?cosB得

16.详解：由

c?a?2a?cosB，则

sCi?nAs?inA?，所以2B

sin(A?B)?sinA?2sinA?cosB，可化为sin(B?A)?sinA，

则B?2A，又?ABC为锐角三角形，所以A?(??ba,)，又?，所以b?2acosA，则64sinBsinA1a2?2a32?cosA??2b2?a2?4a2cos2A?a2?2a，所以24a4，解得1?a?2

三、解答题

17.解：（1）由an?2?2an?1?an?1，得(an?2?an?1)?(an?1?an)?1，即bn?1?bn?1，所以?bn?为等差数列，且bn?b1?(n?1)?1?n?3···································5(分) （2）因为tan(bn?1?bn)?tanbn?1?tanbn?tan1，·······························8(分)

1?tanbn?1tanbn所以cn?tanbn?tanbn?1?tan(n?4)?tan(n?3)?1，

tan1则Sn?

tan(n?4)?tan4?n·······12(分)

tan118.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ·······································2(分) （2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人。

设Ai表示所取3人中有i个人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件A，

312C12C4C12121 ································6(分) P(A)?P(A0)?P(A1)?3??3140C16C16（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率P?3P(??0)?()?41?，故依题意可知，从1641.ξ的可能取值为0，1，2，434327271132；P(??1)?C3； ()?644464131139；P(??3)?()? ·······························9(分) P(??2)?C32()2?4644464所以ξ的分布列为