当前位置：首页 > 通用2019年高考数学章节练习题集第选修4-1几何证明选讲
?2
且NM＝?
?1
21 －?3?1??3?1 ??＝?2??12??0 ?－3 3?
0??， 1?
所以M和N互为逆矩阵．
1 －?2?? 1?? 1?33????＝??，
(2)证明：因为Mα＝
?－1 2??－1??－1??33?所以α是N的特征向量． ?2
因为Nα＝?
?1
1?? 1?? 1????＝??， 2??－1??－1?
所以α是N的特征向量．
? 1?? 1?
(3)由(2)知，M对应于特征向量??的特征值为1，N对应于特征向量??的
?－1??－1?特征值也为1，
故1是矩阵M和N的一个公共特征值．
选修4-4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
一、填空题
1．在极坐标系中，点P(ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________．
解析 设点P(ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0)
π
2．过点(2，4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________．
解析 设直线上点坐标P(ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝2. 答案 ρsin θ＝2
π??
3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A?4，6?到圆心C的距离是
??________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心π??
4，坐标为(0,2)．又易知点A?的直角坐标为(23，2)，故点A到圆心的距离6???为?0－23?2＋?2－2?2＝23. 答案 23
π???π?4，??4．在极坐标系中，点M到曲线ρcos?θ－3?＝2上的点的距离的最小值为?3???________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为
|2＋23×3－4|
1＋?3?答案 2
2
2
＝2.
5．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．
解析 设所求曲线上动点M的极坐标为(r，φ)，
φ＝θ??
由图可知?1.
r＝ρ??2
把θ＝φ和ρ＝2r代入方程ρ＝2acos θ，
π??π
得2r＝2acos φ，即r＝acos φ.(?－≤φ≤?，
2??2这就是所求的轨迹方程．
aa
由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(2，0)为圆心，半径为2的圆． aa
答案 以(2，0)为圆心，以2为半径的圆
π
6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝4，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
解析 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由ρ＝2cos θ，???πθ＝??4
?ρ＝2，
?
得?π
θ＝，??4
即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，
因此AB＝2. 答案
2
7．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，π??
点P的极坐标为?2，2?过点P作圆C的切线，则两条切线
??
夹角的正切值是________．
解析 圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设|－k＋2|3
切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为2＝1，∴k＝4，即tan α
k＋13
＝4.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余4
角，∴两条切线夹角的正切值为3. 4答案 3
8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×?－2?＋m|
＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0或m＞10.
5答案 (－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答题
9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
?x＝3cos α，?(α为参数)． ?y＝sin α(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极π??
点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为?4，?，判断点P与直线l
2??的位置关系；
(2)设点Q是曲线C 上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． π??
解 (1)把极坐标系下的点P?4，?化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的
2??直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． (2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q
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