通用2019年高考数学章节练习题集第选修4-1几何证明选讲

选修4-1 几何证明选讲

第1讲 相似三角形的判定及有关性质

一、填空题

1．如图，已知M是? ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与?ABCD的面积之比为________． 11

解析 S△BMD＝2S△ABD＝4S?ABCD， 由BM∥CD，得△DCE∽△BME， 则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1， 所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3， 2

即S△DME＝3S△BMD，又S△DME＝S△BCE， 4

所以S阴影＝2S△DME＝3S△BMD 411

＝3×4S?ABCD＝3S?ABCD， 即S阴影∶S?ABCD＝1∶3.

答案 1∶3[来源:学#科#网Z#X#X#K] 2．梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________． 1

解析 易知EF＝2(AD＋BC)，

11

EM＝2AD.FN＝2AD.

又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak.则BC＝bk. 1k2m

∵EF＝2(AD＋BC)，∴m＝2(a＋b)，∴k＝.

a＋b11

∴MN＝EF－EM－NF＝m－2ak－2ak m（b－a）

＝m－ak＝.

a＋bm（b－a）

答案

a＋b

3. 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________. 解析 ∵AB∥CD∥EF， ABBCBCCD∴EF＝CF，BF＝EF， 4∴EF＝

BCBC12

，BF＝EF，

BC－BF

∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF， BC112

∴BF＝4＝EF，∴EF＝3. 答案 3

4. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的BF

中点，AE交于BC于F，则FC＝________. 解析 如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在三角形BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG，因此BF1FC＝2. 1答案 2

5. 如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．

AE11

解析 ∵E为AB中点，∴AB＝2，即AE＝2AB， 3

在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝2AB， AE1

又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为AC＝.

3故△ADE与△ABC的相似比为1∶3. 答案 1∶3

1

6. 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝2BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.

1

解析 ∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝2BC＝CD，AE＝12，AB1BMABBM1

DH＝16，∴AD＝4，DH＝AD.∴16＝4，∴BM＝4. 取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，

11

∴PQ＝2(AE＋DH)＝2(12＋16)＝14. 11

同理：CG＝2(PQ＋DH)＝2(14＋16)＝15. 答案 4 15

7．如图所示，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，则AE的长为________． 解析 ∵AE∥BC，AD＝DC， AEAD

∴CF＝DC＝1，∴AE＝CF.

BFBG3BC2

∵AE∥BF，BG∶GA＝3∶1，∴AE＝GA＝1，∴AE＝1.∵BC＝8，∴AE＝4. 答案 4

8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若

DB＝9，则BM＝________. 解析 ∵E是AB的中点， ∴AB＝2EB.

∵AB＝2CD，∴CD＝EB.

又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形． ?∠DEM＝∠BFM，

∴CB∥DE，∴?

?∠EDM＝∠FBM，DMDE

∴△EDM∽△FBM.∴BM＝BF. ∵F是BC的中点，∴DE＝2BF. 1

∴DM＝2BM.∴BM＝3DB＝3. 答案 3 二、解答题

1

9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝311

AC，BD＝3AB，点F在BC上，且CF＝3BC.求证： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC.

证明 设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a. CE2a2CF2a2(1)CB＝＝3，CA＝3a＝3.

32a

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°. ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝2a，

AEa2AD2a2故EF＝＝2，BF＝＝2，

2a22aAEAD

∴EF＝FB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°， ∴△ADE∽△FBE， ∴∠ADE＝∠EBC.