2015 - 2016上学期高一数学期中考试及答案

21．（本小题满分12分）已知函数f?x??ax?（1）求函数f(x)的解析式；

b?5?(其中a，b为常数)的图象经过?1,2?，?2,?两点. x?2?（2）设函数g(x)?x?xf(x)，证明g(x)定义域上没有零点。

?a?b?2?解：（１）由已知有?b5 , ???3分[来源:学#科#网]

2a????22?a?1解得?， ???5分

b?1??f(x)?x?1. ??????6分 x (2)g(x)?x?xf(x)?x?x2?1即g(x)??x2?x?1 ??????7分 令g(x)?0得：?x2?x?1?0 ??????8分 ??12 3?4(?1)?(1?)??0 可知方程?x2?x?1?0无实数根 ??????11分 所以g(x)定义域上没有零点。 ??????12分

22．（本小题满分14分）已知函数f(x)=1?a是奇函数. 3x?1（1）求a的值；

（2）并用定义证明f(x)是R上的增函数. 解：（1）∵函数是奇函数，∴f(?x)=?f(x)， 即1?aa?1?=，解得a?2??5分 ?xx3?13?1解法二：∵函数是定义域为R的奇函数，

第5页 共4页

∴f(0)?0,即1?a=0，解得a?2 . ??5分 22. ??6分 3x?1(2)证明： ∵a?2, ∴f(x)?1?设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1?x2，

2(3x2?3x1)aa?(1?x1)=x1则f(x2)?f(x1)= 1?x2. ??10分

3?13?1(3?1)(3x2?1)∵x1?x2，所以32?31?0

又因为31?1?0，32?1?0，∴f(x2)?f(x1)>0, 即f(x2)?f(x1)??13分

∴f(x)是R上的增函数。 ??????14分

223．（本小题满分14分）已知二次函数f(x)?ax?bx?c，满足条件：f(0)?3，a,b,c是常数且a?0，

xxxxf(3)?6，且对任意的x?R有f(1?x)?f(1?x).

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）问是否存在实数m,n(m?n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m,n]，[2m,2n]？若存在，求出

m,n；若不存在，说明理由。

解：由f(0)?3得c?3， ??????１分

由f(3)?6得9a?3b?6 ① ??????3分 由题义：对任意的x?R有f(1?x)?f(1?x).得

a(1?x)2?b(1?x)?a(1?x)2?b(1?x)

整理得：4ax??2bx得

2a??b ② ??????5分

第6页 共4页

联立①②得：??a?2

?b??42所以：f(x)?2x?4x ??????6分

（2）由（１）知f(x)?2x?4x，其单调减区间为???,1?；增区间为?1,???

2假设存在实数m,n(m?n)满足题意，则有 ①当n?1，f(x)在m,n上为减函数，所以

2??f(m)?2n?2m?4m?2n，即?2 ?f(n)?2m???2n?4n?2m??解得：m?1?51?5，n? 22由于n?1?5?1，所以此时不存在实数m,n(m?n)满足题意。??????8分 2②当m?1?n，f(x)在m,n上的最小值为f(1)??2， 则令2m??2，即m??1

而f(x)在m,n上的最大值为f(?1)或f(n)； 若f(?1)?6?2n得n?3

若f(n)?2n?4n?2n得n?3或n?0舍 可知当n?3时f(?1)?f(n)?6

2?????m??1所以当?符合题意。 ??????11分

n?3?③当1?m，f(x)在m,n上为单调增函数，则有

2??f(m)?2m?2m?4m?2m，即?2 ?f(n)?2n???2n?4n?2n??第7页 共4页

?m?0解得：?不成立，所以此时不存在实数m,n(m?n)满足题意。??????13分

n?3?综上所述存在?

?m??1符合题意。??????14分

?n?3第8页 共4页