川师 概率论第一章习题解答

习题一详细解答

1、某工人加工了三个零件，设事件Ai为 “加工的第i个零件是合格品”（i?1,2,3），试用（1）只有第一个零件是合格品；（2）只有一个零件是合格品；（3）至A1,A2,A3表示下列事件：

少有一个零件是合格品；（4）最多有一个零件是合格品。 解：（1）A1A2A3（2）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 （3）A1?A2?A3（4）A1A2?A2A3?A1A3

2、一名射手连续向某个目标射击三次，设Ai表示“该射手第i次射击时击中目标”（i?1,2,3）。试用文字叙述下列事件：

A1A2;A1?A2?A3；A3?A2；A1?A2；A2A3；A1A2?A1A3?A3A2

解：A1A2=A1?A2表示前两次均未击中目标；

A1?A2?A3表示三次射击中至少有一次击中目标； A3?A2表示第三次击中但第二次未击中；

A2A3表示后两次中至少有一次未击中目标；

A1A2?A1A3?A3A2表示三次射击中至少有两次击中目标。

3、设A和B是同一试验E的两个随机事件，求证：

1?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A?B)

证明： ?AB?A?A?B

?P(AB)?P(A?B)

由概率的性质和事件的运算律，可得：

P(A)?P(B)?P(A?B)?P(AB)?1?P(AB) ?1?P(A)?P(B)?P(AB)

4、已知P(A)?11,P(B)?, 431; 3（1）当A,B互斥时，P(AB)?P(B)?111??； 34121115（3）当P(AB)?时，求P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)???.

83824（2）当A?B时，求P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(A)? 1

5、已知P(A?B)?0.7,P(A)?0.5,P(B)?0.4,求P(AB),P(A?B),P(A?B). 解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，得 P(AB)?P(A)?P(B?)P(?AB?)0.?50.?2

0.?4 7?0. P(A?B)?P(A)?P(AB)?0.?5 P(A?B)?P(AB)?1?P(AB?)?10.?2. 0.811，P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?,486、设有事件A、B、C,已知P(A)?P(B)?P(C)?求A、B、C中至少有一个发生的概率.

解 由ABC?AB，得0?P(ABC)?P(AB)?0，因此，P(ABC)?0.

)?P(A)?P(B)? P(A?B?C ?P(C)?P(A?)B(PB?)C(P?C)A (PABC11115????. 444887、袋中有均匀的5个红球和3个黄球，从中任取两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。

C525解：设A?“摸出的两个球都是红球”，则P(A)?2?

C8148、将一枚均匀的色子抛掷两次，求两次出现的点数之和等于8的概率。 解：设A=“两次出现的点数之和等于8”，P(A)?5 369、将n个人等可能地分配到N(n?N)间房的每一间中去，试求下列事件的概率： （1）某指定的n间房中各有一人； （2）恰有n间房各有一人

解：因为把每一个人分配到N间房去都有N种分法，所以样本空间中含有N个基本事件。 （1） 设A=“某指定的n间房中各有一人”，则有n!种分法。

所以P(A)?nn!； Nn（2）设B=“恰有n间房各有一人”，则需要先从N间房中选出n间房，再把它们分配给n个人，所以有CN?n!种分法。

nCN?n!所以P(B)? nNn10、一副扑克牌52张（没有大小王），从中任意抽取13张，求至少有1张“J”的概率？

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解：设A?“任意抽取的13张中至少有1张是J”，样本空间中样本总数为C52。直接计算很

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麻烦，所以由对立事件来计算，则A=“任意抽取的13张中没有1张是J”.而A中的样本

13C48 点数是C。故P(A)?1?P(A)?1?13?0.696

C521348 11、在一个池中有3条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食。设甲或乙竞争到食物的机会是， 甲或丙竞争到食物的机会是，且一次竞争的食物只能被一条鱼享用。求哪条鱼是最优的捕食 者？

解：设A、B、C分别表示鱼甲、乙、丙竞争到食物的事件。由题意得： P（AB）=P（BC）=P（AC）=0,P(A?B)?,P(A?C)? 因此，P(A?B)?P(A)?P(B)?123 413,P(A?C)?P(A)?P(C)? 24 又由题意知，P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?1 由上面三个式子解得：P（A）=,P（B）=,P(C）= 所以丙鱼是最优的捕食者。

12、将C,C,E,L,I,N,S等7个字母随机排成一排，求恰好排成英文单词SCIENCE的概率？ 解：设A?“排成英文单词SCIENCE”。

由于两个E可以交换，两个C可以交换，所以事件A的概率为： P?A??14141. 22!2!1? 7!12601的概率。 313、设有任意两数x和y满足0?x?1,0?y?1，求xy?解：试验的样本空间为区域??(x,y)0?x?1,0?y?1，?为一个正方形，面积为1，设所求事件为A，则A??(x,y)xy?????1?,0?x?1,0?y?1,?， 3?11111A的面积为1???1dx??ln3

333x3311?ln3A的面积3311所以P(A)????ln3

?的面积13314、设某地区在历史上从某次特大洪水发生后30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%。现该地区已30年无特大洪水，问未来10年内该地区发生特大洪水的概率是多少？

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解：设A?“该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水”。设B?“该地区从某次特大洪水发生后40年内无特大洪水”,则所求概率为P(BA). 又AB?B,由条件概率的计算公式和性质，得：

P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(B)?1??1?0.75?0.25 P(A)P(A)11,P(C)?，求P(ABC) 2315、设A、B、C是随机事件，A、C互不相容，P(AB)?解：由A、C互不相容，则AC??,P(AC)?0.

又ABC?AC，得P(ABC)?0 由条件概率的定义得：

1?0P(ABC)P(AB)?P(ABC)23P(ABC)????14 1?P(C)P(C) 1?316、一批灯泡共100只，次品率为10%。不放回地抽取3次，每次一只，求第三次才取到合格品的概率。

解：记Ai={第i次取得合格品}（i?1,2,3）所求概率为P(A1A2A3)

?P(A1)?10990,P(A2A1)?,P(A3A2A1)?100999810990??1009998?0.0083?

?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A2A1)17、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率？

解：设事件Ai表示“取出的零件是第i台车床加工的零件”（i?1,2），事件B表示“取出的零件是合格品”，则

21P(A1)?,P(A2)?,P(BA1)?0.97,P(BA2)?0.98. 由全概率公式，

3321得：P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)??0.97??0.98?0.973

3318、根据美国的一份资料报道，在美国患肺癌的概率为0.1%。在普通人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率为多少？

解：以C记“患肺癌”，以A记“吸烟”。

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