2018-2019学年高中数学 第三章 函数的应用章末检测试题 新人教A版必修1

所以f(2)=loga2+2-b<1+2-b=3-b<0, f(3)=loga3+3-b>1+3-b=4-b>0, 即f(2)·f(3)<0,

易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0, 且x0∈(2,3),所以n=2. 答案:2

三、解答题(共40分) 17.(本小题满分8分)

x-m

设函数f(x)=e-x,其中m∈R,当m>1时,判断函数f(x)在区间(0,m)内是否存在零点.

x-m-m-m

解:f(x)=e-x,所以f(0)=e-0=e>0,

0

f(m)=e-m=1-m.又m>1,所以f(m)<0, 所以f(0)·f(m)<0.

又函数f(x)的图象在区间[0,m]上是一条连续曲线,

x-m

故函数f(x)=e-x(m>1)在区间(0,m)内存在零点. 18.(本小题满分10分) “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4

(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.

解:(1)由题意得当0

显然v=ax+b在(4,20]内是减函数, 由已知得

解得

所以v=-x+,

故函数v=

(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得

f(x)=

当0

5

当4

22

+,f(x)max=f(10)=12.5.

所以当x=10时,f(x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 19.(本小题满分10分)

已知函数f(x)=x+x-2,试利用基本初等函数的图象,判断f(x)有几个零点,并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).

-12

解:令y1=x,y2=-x+2,在同一直角坐标系中分别画出它们的图象

(如图所示),其中抛物线的顶点坐标为(0,2),与x轴的交点分别为(-2,0),(2,0),y1与y2的图象有3个交点,从而函数f(x)有3个零点.

由f(x)的解析式知x≠0,f(x)的图象在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是连续不断的曲线,

-12

且f(-3)=>0,f(-2)=-<0,

f()=>0,f(1)=-<0,f(2)=>0, 即f(-3)·f(-2)<0,f()·f(1)<0, f(1)·f(2)<0, 所以3个零点分别在区间(-3,-2),(,1),(1,2)内.

20.(本小题满分12分)

2

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x-2x. (1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象;

(2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有一个零点?两个零点?三个零点?

6

解:(1)当x≥0时,f(x)=x2

-2x.

设x<0,可得-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2

+2x, 因为函数f(x)为奇函数,

则f(x)=-f(-x)=-x2

-2x, 所以f(x)=

函数的图象如图所示.

(2)由g(x)=f(x)-k=0, 可得f(x)=k,

结合函数的图象可知,

①当k<-1或k>1时,y=k与y=f(x)的图象有一个交点,即 g(x)= f(x)-k有一个零点;

②当k=-1或k=1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)=f(x)-k有两个零点; ③当-1

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