湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考 数学（理）试题（含答案）

0?a?e?4时，f?x?有两个零点； a?e?4时，f?x?无零点.

x22(2)g?x??x?[m?2f?(x)]，g??x??3x??m?2a?x?1.

23Qg?x?在?a,3?上有最值，?g?x?在?a,3?上不单调，

而g??0???1?0，

??g??3??0??恒成立.

???g?a??0119?5a?m??， a232g??3??0?3m?26?6a?0?m??，

33219?m??. 故?32又a?1,2，由g??a??0?m???【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．

22．在平面直角坐标系中.已知曲线C:??x?3cos??(?为参数)，.以原点为极点，x轴正半轴为极

??y?2sin?轴建立极坐标系.直线l:?(2cos??sin?)?6. (1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)在曲线C上取一点P，使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标.

3x2y2【答案】（1）l的直角坐标方程:2x?y?6?0,曲线C的普通方程:??1 （2）P(?,1)，

234dmax?25 【解析】（1）利用三种方程的互化方法，求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）设P?3cos?,2sin?，求出圆心到直线l的距离，即可在曲线C上求一点P，使点P到直线

?l的距离最大，并求出此最大值． 【详解】

解：（1）l的直角坐标方程为2x?y?6?0

x2y2曲线C的普通方程为??1

34（2）设P?4sin(??)?63cos?,2sin?，则 3d?5??33?P(?,1)，dmax?25，

2【点睛】

当sin(???)??1时，d最大，

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

23．已知函数f?x??x?2x?a，a?0. （1）当a?1时，求不等式f?x??4的解集；

4恒成立，求实数a的取值范围. （2）若f?x?…【答案】（1）?x|???2??x?2?；（2）a?4 3?【解析】（1）按绝对值定义去绝对值符号后再解不等式；

（2）按绝对值定义去绝对值符号后得分段函数，求得其最小值，由最小值?4可解得a的范围. 【详解】

（1）①当x?1时，解得1?x?2 ②当0?x?1时，解得0?x?1

③当x?0时，解得?2?x?0 32??x?2? 3?∴不等式的解集为?x|???（2）①当x≥a时，f?x??3x?2a； ②当0?x?a时，f?x???x?2a； ③当x?0时，f?x???3x?2a； 所以f?x?的最小值为a，∴a?4. 【点睛】

本题考查含绝对值不等式的问题，含绝对值不等式可按绝对值定义去掉绝对值符号，化为分段函数，再分类求解．不等式恒成立问题可转化为求函数的最值．