湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)试题(含答案)

(2)设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为?，求cos?的取值范围.

?71?,? 【答案】（1）证明见解析 （2）cos???72??【解析】(1)先证明BC?AC，结合面面垂直性质定理即可得到BC⊥平面ACFE； (2) 建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MAB与平面FCB的法向量，表示cos?，求函数的值域即可. 【详解】

解：（1）证明：在梯形ABCD中，因为AB//CD，AD?DC?CB?1，?ABC?60? 所以AB?2，所以AC2?AB2?BC2?2ABgBCgcos60??3， 所以AB2?AC2?BC2，所以BC?AC.

因为平面ACFE?平面ABCD，平面ACFE?平面ABCD?AC， 因为BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.

（2）由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM??0???3，则C?0,0,0?，A???3,0,0，B?0,1,0?，M??,0,1?.

?uuuvuuuuv∴AB??3,1,0，BM???,?1,1?.

??uv设n1??x,y,z?为平面MAB的一个法向量，

uvuuuvuv?AB?0??n1·??3x?y?0uvuuuuv由?得?，取x?1，则n1?1,3,3??， n·BM?0?x?y?z?0???1?uuv∵n2??1,0,0?是平面FCB的一个法向量

??

uvuuvn1?n2?cos??uvuuv?

n1?n2

11?3??3???1?2?1???3?4?2 ∵0???3，∴当??0时，cos?有最小值17，当??3时，cos?有最大值．

27∴cos???【点睛】

?71?,?. 72??本题考查线面垂直的证明，二面角的度量，考查推理能力、计算能力以及空间想象能力，属于中档题.

20．如图，分别过椭圆交于合时，

与

不同四点，直线，

.

左、右焦点的斜率

的动直线满足

相交于点，与椭圆分别

．已知当与轴重

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在定点在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）

与

，

和

.

,

，使得

为定值？若存在，求出

点坐标并求出此定值；若不存

【解析】试题分析：（1）当轴重合时，垂直于轴，得

得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则

坐标化，可得

点的轨迹是椭圆或者双

和点

曲线 ，所以把

.

点的轨迹是椭圆，从而求得定点

试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得

，，, 得,椭圆的方程为.

焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;

当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：

, 所以:，, 则：

. 同理：

因为

, 所以

以

， 设

，则

，即

，由当直线

或

, 即

, 由题意知

,

, 所

斜

率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在

点和点，使得为定值，定值为.

【考点】圆锥曲线的定义，性质，方程.

【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量

，

析如果存两定点，则

，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分

点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把

点的轨迹方程是椭圆

坐标化，求得，从而求得存在两定点和

点.

21．已知函数f?x??lnx?ax?3?a?0?. (1)讨论函数f?x?的零点个数；

x2(2)若?a?[1,2]，函数g?x??x?[m?2f?(x)]在区间?a,3?有最值，求实数m的取值范围.

23【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）?【解析】(1)求出f??x??3219?m?? 321?a，分析函数的单调性，进而明确函数的极值，数形结合即可得到函数xf?x?的零点个数；

(2) 由g?x?在?a,3?上有最值，可知g?x?在?a,3?上不单调，从而可得结果. 【详解】

解（1）Qx>0，?f??x??1?a， x若a?0，?f??x??0，f?x?在?0,???上单调递增， 且fe????ae33?0，x?0时，f?x????，

此时，f?x?存在唯一零点； 若a?0，f??x??1?ax1?0，x? xa11所以x?(0,)，f?x?单调递增，x?(,??)，f?x?单调递减，

aa1?f?x?max?f()??lna?4，

a当?lna?4?0，即a?e?4时，f?x?无零点； 当?lna?4?0，即a?e?4时，f?x?有一个零点； 当?lna?4?0，即0?a?e?4时，f?x?有两个零点； 综上：a?0或a?e?4时，f?x?有一个零点；