湖南省五市十校2020届高三上学期第二次联考 数学(理)试题(含答案)

F?V?E?2，故答案为F?V?E?2

【考点】归纳推理. 15．已知函数f(x)=x+4?1?,g(x)=2x+a，若?x1??,1?,?x2??2,3?,使得f?x1??g?x2?，则实数a的x?2?取值范围是________． 【答案】(??,1]

【解析】满足题意时应有：f（x）在x1??,1?的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，

?1??2?由对勾函数的性质可知函数f(x)=x+4?1? 在区间?,1?上单调递减， x?2?f（x）在 x1??,1?的最小值为f（1）=5， 当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数， g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4， 据此可得：5?a+4，解得：a?1， 实数a的取值范围是（﹣∞，1]， 故结果为：???,1。

点睛：这是典型的双变元问题，首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果．本题考查了恒成立问题，对勾函数的单调性，指数函数的单调性，转化的思想等，属于常考的典型题目．

?1??2??x2y216．以双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的右焦点F?c,0?为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近

ab线交于A，B两点，若AB?2c，则双曲线C的离心率为__________． 3【答案】

35 5【解析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可． 【详解】

解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y?∴焦点到渐近线的距离d?∵|AF|＝|BF|＝a， ∴|AD|?bx，即bx﹣ay＝0， abca2?b2?bc?b， cAF2?DF2?a2?b2，

22则|AB|＝2|AD|＝2a?b?平方得4（a2﹣b2）?即a2﹣c2+a2?则2a2?2c， 342c， 912c， 9102

c， 99则c2?a2，

5则c?35a， 535， 5即离心率e?故答案为：

35． 5

【点睛】

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．

三、解答题

17．在?ABC中，角A，B,C的对边分别是a,b,c,已知a?1,b?2,cosC?（1）求?ABC的周长 （5分） （2）求值：cos(A?C)的值（5分） 【答案】（1）5 （2）cos(A?C)?1 411 16【解析】(1)先根据余弦定理求出c，进而可求出三角形周长。

（2）根据两角差的余弦公式，需要求出角A、C的正余弦。在第（1）问的基础上，可以进一步求出角A的余弦，然后再借助同角的三角函数关系式求出A、C的正弦。问题得解。 解：（1）c=2,周长为5 （2）sinC?1571511,cosA?cos(A?C)? ，sinA?8841618．已知数列?an?的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an?(1)求数列?an?的通项公式；

(2)设bn?()?an，求数列?bn?前n项和为Tn.

nn【答案】（1）an?n （2）Tn?2??n?2?()

11?2Sn?，n?N?. 241212【解析】(1)由an?1211?2Sn?，可得Sn??an?an?，采用相邻两式作差的方式，可知?an?是

224等差数列，从而得到数列?an?的通项公式；

(2)易得：bn?()?an?n?()，利用错位相减法求和即可. 【详解】

解：(1）依题知Sn?12n12n12?an?an?①， 2?a1?12a1?a1?，又an?0 ?2

?a1?1

12?an?1?an?1?② 2122由①-②得an??an?an?an?1?an?1?

2Sn?1?22a?an?1?1 ?an?an?1?an?an?1，则n??an?是等差数列，

?an?1?(n?1)?1?n.

1n1n221111?Tn?1??2?()2?3?()3?????n?()n，

222211111?Tn?1?()2?2?()3?3?()4?????n?()n?1 22222111213141n1n?1两式相减得Tn??()?()?()?????()?n?()，

222222211?()n2?n?(1)n?2??n?2?(1)n. ?Tn?1221?2(2)Qbn?()?an?n?()， 【点睛】

本题考查了利用递推关系求通项公式，错位相减法求和，等差数列通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD?DC?BC?1，?ABC?60?，四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面ABCD，CF?1.

(1)证明：BC⊥平面ACFE；