第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题

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解：（1）∵入射角与反射角相等，即∠1=∠5，∠7=∠6， 又∵∠1=38°， ∴∠5=38°，

∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°， ∵m∥n，

∴∠2=180°﹣∠4=76°，

∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°， ∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；

（2）由（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时， ∠3的度数都是90°； （3）∵∠3=90°， ∴∠6+∠5=90°，

又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，

∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）， =360°﹣2∠5﹣2∠6， =360°﹣2（∠5+∠6）， =180°．

由同旁内角互补，两直线平行， 可知：m∥n．

故答案为：76°，90°90°，90°90°．

5．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系． 证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，

由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2．

（2）关系：∠3=∠2﹣∠1； 过P作直线PQ∥l1∥l2，

则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE， ∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2． 过P作PQ∥l1∥l2；

同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，

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即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

6．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；

（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解：（1）∵CB∥OA，

∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COE=∠EOF， ∵∠FOB=∠AOB，

∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°； （2）∵CB∥OA， ∴∠AOB=∠OBC， ∵∠FOB=∠AOB， ∴∠FOB=∠OBC，

∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值； （3）在△COE和△AOB中， ∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB， ∴∠COE=∠AOB，

∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线， ∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，

∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°， 故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．

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7.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．

（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．

（2）如图3，写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系？（不需证明）． （3）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

解:（1）过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD， ∴AB∥EP∥CD，

∴∠B=∠1=50°，∠D=∠2=30°， ∴∠BPD=80°；

（2）∠B=∠BPD+∠D．

理由如下：设BP与CD相交于点O，

∵AB∥CD， ∴∠BOD=∠B，

在△POD中，∠BOD=∠BPD+∠D， ∴∠B=∠BPD+∠D．

（3）如图，连接QP并延长， 结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

（4）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠E=∠1，∠B+∠F=∠2， ∵∠1+∠2+∠C+∠D=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

8．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

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（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；

（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°． 解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2=180°．

又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∴AB∥CD；

（2）如图2，由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠EPF=90°，即EG⊥PF． ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH；

（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下： 如图3，∵∠1=∠2， ∴∠3=2∠2． 又∵GH⊥EG，

∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2． ∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2． ∵PQ平分∠EPK，

∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．

∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，

∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．

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11．画图并填空：

如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC向下平移2倍，再向右平移3格． （1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）在图中画出△的A′B′C′的高C′D′（标出点D′的位置）；

（3）如果每个小正方形边长为1，则△A′B′C′的面积= ．（答案直接填在题中横线上）

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