高一数学必修4《平面向量》测试卷（含答案）

《平面向量》测试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.对于任意向量a和b，下列命题中正确的是（ ）

A.若a,b满足a?b，且a与b同向，则a?b B.a?b?a?b C.a?b?ab D.a?b?a?b

2.已知平面向量a?(1,1),b?(1,?1)，则向量132a?2b等于（ ）

A.(?2,?1) B.(?2,1) C.(?1,0) D.(?1,2)

3.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）

A.e1?(0,0),e2?(1,?2) B.e1?(?1,2),e2?(5,7)

C.e?(3,5),e?(6,10) D.e13121?(2,?3),e2?(2,?4)

4.已知AB?a?5b,BC??2a?8b,CD?3(a?b)，则（ ） A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线

C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线

5.已知正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c,则a?b?c等于（A.0 B.3 C.2 D.22 6.已知OA?a,OB?b,OC?c,OD?d,且四边形ABCD为平行四边形，则（ A.a?b?c?d?0 B.a?b?c?d?0

C.a?b?c?d?0 D.a?b?c?d?0

7.若a?(2,3),b?(?4,7)，则b在a方向上的投影为（ ）

） A.3 B.

655 C.135 D.65 8.在三角形ABC中，AB?c,AC?b，若点D满足BD?2DC，则AD?（ ）

A.23b?13c B.53b?221123c C.3b?3c D.3b?3c 9.如图，正六边形ABCDEF中，BA?CD?EF?（ ） A.0 B.BE C.AD D.CF

10.已知点O、N、P在三角形ABC所在平面内，且OA?OB?OC，NA?NB?NC?0,PA?PB?PB?PC?PC?PA，则点O、N、P依次是三角形ABC的（ ）

A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 11.如图，三角形OAB中，ON?3NA,OM?2MB， AM和BN交于点G，OG?mOA?nOB，则（ ）A A.m?12,n?1113 B.m?3,n?2 C.m?16,n?13 D.m?112,n?6

12.定义平面向量之间的一种运算“?”如下：对任意的a?(m,n),b?(p,q)，令a?b?mq?np.下列说法错误的是（ ）

A.若a与b共线，则a?b?0 B.a?b?b?a

C.?a?b) D.(a?b)2?(a?b)2?a2b2??R, 都有(?a)?b??(

）

二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量a?(2,?1),b?(?1,m),c?(?1,2)，若a?b平行于c，则m? . 14.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，C(4,5)，则tanA 的值为 .

15.我们知道，a?(1,0),b?(0,1)是一组单位正交基底.请再任意写出一组单位正交基底 .

16.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?CB的值为 ，DE?DC的最大值为 .

三.解答题.（本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）

17.平面向量的数量积a?b是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等、三角形的三条中线交于一点、三角形的三条垂线交于一点、三角形的三条角平分线交于一点等.请选择其中一个命题，给出具体证明.

18.已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(?3,?4),B(5,?12). （1）求AB的坐标及AB；

（2）若OC?OA?OB,OD?OA?OB,求OC及OD的坐标； （3）求OA?OB.

19.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(?1,?2),B(2,3),C(?2,?1). （1）求以线段AB,AC为临边的平行四边形的两条对角线的长； （2）设实数t满足(AB?tOC)?OC?0，求实数t的值. D F C 20.如图，在矩形ABCD中，AB?2,BC?2， 点E为BC的中点，点F在边CD上， 若AB?AF?2，求AE?BF的值. E

A B 21.已知m,n为单位向量，夹角为

?3. （1）求cos?3m?5n,2m?n?；

（2）若?2m?n,km?n??2?3，求实数k的值.

22.已知A(2,1),B(3,2),D(?1,4).

（1）求证：AB?AD；

（2）若四边形ABCD是矩形，试确定C点的坐标；

（3）若点M为直线OD上的一个动点，当MA?MB取最小值时，求OM的坐标.

《平面向量》答案解析

一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

19.解：(1)由题意知AB?(3,5),AC?(?1,1),则 AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4) ?AB?AC?210,AB?AC?42 ?所求的两条对角线长分别为42和210 (2)OC?(?2,?1) ?AB?tOC?(3,5)?(?2t,?t)?(2t?3,t?5)

BDBAD BAADC AB

二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.?1 14.43 15.a?(cos?,sin?),b?(?sin?,cos?)（答案不唯一）

16.1,1

三.解答题.（本大题共6小题，其中17题10分，其余5个小题每题12分，共70分）

17.解:勾股定理：三角形ABC中，不妨设C=?2,则有AB2?AC2?CB2 证明：AB=AC+CB ?AB2=AB2=(AC+CB)2?AC2?CB2?2AC?CB

又AC?CB ?AC?CB?0 ?AB2?AC2?CB2

18.解:(1)AB?(8,?8),AB?82 (2)OC?(?3,?4)?(5,?12)?(2,?16)

OD?(?3,?4)?(5,?12)?(?8,8) (3)OA?OB?(?3,?4)?(5,?12)?33

?(AB?tOC)?OC?(2t?3,t?5)?(?2,?1)??5t?11(AB?tOC)?OC?0??5t?11?0?t??11520.解:方法一： 设DF?xAB,则CF?(x?1)AB AB?AF?AB?(AD?DF)?AB?(AD?xAB)?xAB2?2x ?x?22 ?BF?BC?CF?BC?(22?1)AB ?AE?BF?(AB?BE)???BC?(2?1)AB??2?? ?(AB?12BC)???BC?(2?1)??2AB?? ?(2222?1)AB?12BC ?(212?1)?2?2?4 ?2 方法二： 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(x,2) ?AB?(2,0),AF?(x,2),AE?(2,1),BF?(x?2,2) AB?AF?2 ?(2,0)?(x,2)?2 ?x?1 ?AE?BF?(2,1)?(1?2,2)?2

21.解:(1)由题意知a?b?12 ?(3m?5n)?(2m?n)?92,3m?5n?7,2m?n?3 ?cos?3m?5n,2m?n??(3m?5n)?(2m?n)3m?5n2m?n?3314 (2)(2m?n)?(km?n)?32k, 2m?n?3,km?n?k2?k?13 ?cos2?2k3?3?k2?k?1 ?k??12,或k?1(舍)

22.解:(1)由题意得AB?(1,1),AD?(?3,3), ?AB?AD?0 ?AB?AD (2)设C(x,y),则由AD?BC得(?3,3)?(x?3,y?2) ?x?0,y?5 ?C(0,5) (3)设M(a,b),则OM?(a,b),OD?(?1,4) O,M,D三点共线ab ???14 ?b??4a ?MA?MB?(2?a,1?b)?(3?a,2?b) ?(2?a,1?4a)?(3?a,2?4a) ?17a2?7a?8714 ?当a??,时,MA?MB可取得最小值，此时b?3417714 ?OM?(?,)3417