2020届高三数学精准培优专练十四外接球（理科）教师版

一、选择题

1．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A．

32π 3B．4π C．2π

D．

4π 3【答案】D

【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线， 故2R?1?1?22?2?2?2，即得R?1，所以该球的体积V?434ππR?． 332．已知三棱锥S?ABC的三条侧棱两两垂直，且SA?2，SB?SC?4，则该三棱锥的外接球的半径 为（ ） A．3 【答案】A

【解析】因为三棱锥S?ABC的三条侧棱两两垂直，

所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S?ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球， 长方体的外接球的直径等于长方体对角线；所以外接球的半径为B．6

C．36

D．9

122?42?42?3． 2BC?DA?y，3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，C，CA?BD?z，B，D且AB?CD?x，

则x2?y2?z2等于（ ） A．2 【答案】C

【解析】如图，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，则a?b?c?2?4，

2222B．4 C．8

D．16

根据题意a?b?x，b2?c2?y2，a2?c2?z2，则x2?y2?z2?2(a2?b2?c2)?8．

BADC222

4．正四面体的棱长为46，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A．36π 【答案】C

B．72π

C．144π

D．288π

【解析】正四面体底面三角形的外接圆的半径r?2π?46?sin?42， 33正四棱锥顶点到底面的距离为h?(46)2?(42)2?8， 设正四棱锥的外接球的半径为R，则有R?r?(h?R)，

222即R?(42)?(8?R)，解得R?6． 则所求球的表面积为S?4πR?144π．

5．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ） A．

222221 2B．6 C．7 D．3

【答案】A

【解析】球O的半径满足直三棱柱底面三角形外接圆半径r?3sinπ3?1?3． 2321R2?()2?(3)2?R?．

226．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB?3，AC?4，AB?AC，AA1?12，则球O的半径为（ ） A．317 2B．210 C．310 D．

13 2【答案】D

【解析】可判断球心应在连接上下直角三角形斜边中点的线段的中点， 那么半径，就是R?513()2?62?． 225，AC?2，BC?AD，则三棱锥的

7．已知三棱锥D?ABC中，AB?BC?1，AD?2，BD?

外接球的表面积为（ ） A．6π 【答案】B

B．6π

C．5π

D．8π

【解析】如图所示，由已知，BC?AD，AB?BC，∴BC?面ABD，∴BC?BD，

∴CD2?BC2?BD2?6，∴AD2?AC2?CD2，∴AD?AC，

6， 2取CD的中点O，由直角三角形的性质，O到A，B，C，D的距离均为其即为三棱锥的外接球球心，故三棱锥的外接球的表面积为S?4π(62)?6π． 2D A BC

8．在三棱锥A?BCD中，△ABC与△BCD都是边长为6的正三角形，平面ABC?平面BCD， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A．515π 【答案】D

【解析】取BC的中点为M，E，F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，

B．60π

C．605π

D．2015π

O是该三棱锥外接球的球心，连接AM，DM，OF，OE，OM，OB，

则E，F分别在

AM，DM上，OF?平面BCD，OE?平面ABC，OM?BC，AM?BC，

DM?BC，所以?AMD为二面角A?BC?D的平面角，

因为平面ABC?平面BCD，所以AM?DM，

1AM?3， 36，在直角三角形OMB中，

又AM?DM?33，所以EM?FM?所以四边形OEMF为正方形，所以OM?222球半径OB?OM?BM?(6)?3?15，

2

4π(15)3?2015π． 所以外接球的体积为V?3

9．在矩形ABCD中，AC?2，现将△ABC沿对角线AC折起，使点B到达点B?的位置，得到三棱锥

B??ACD，则三棱锥B??ACD的外接球的表面积为（ ）

A．π C．4π 【答案】C

【解析】由题意，AC的中点为三棱锥B??ACD的外接球的球心，

∵AC?2，∴球的半径为1，∴三棱锥B??ACD的外接球的表面积为S?4π．

二、填空题

10．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的体积为 ． 【答案】

B．2π

D．大小与点B?的位置有关

125π 6【解析】如图所示，正四棱锥P?ABCD的外接球的球心O在它的高PO?上， 设球的半径为R，底面边长为22，所以AC?4，

在Rt△AO?O中，OA?O?O?O?A，即R2??4?R??22，

2222所以R?543125π，所以球的体积V?πR?． 236

11．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 ． 【答案】29π