二轮复习之等差数列、等比数列性质的灵活运用（基础篇）

例题5 已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn?a1?a2q???anqn?1

Tn?a1?a2q???(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*

（Ⅰ）若q?1,a1?1,S3?15 ,求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a1?d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。 （Ⅲ）若q??1,证明（1?q）S2dq(1?q2n2n?(1?q)T)*2n?1?q2,n?N

【规范解答】（1）解：由题设，S23?a1?(a1?d)q?(a1?2d)q,将q?1,a1?1,S3?15 代入解得d?4，所以an?4n?3n?N*

（2）解：当a21?d,S1?d,S2?d?2dq,S3?d?2dq?3dq,?S1,S2,S3成等比数列所以S22?S1S3即

，，

2（d?2dq）?d（d?2dq?3dq2)，注意到d?0，整理得q??2

（3）证明：由题设，可得bn?qn?1，则

S2n?a1?a2q?a3q2??a2nq2n?1 ① T2n?a1?a2q?a3q2???a2nq2n?1 ②

①-②得，S2n?T2n?2(a2q?a4q3???a2nq2n?1) ①+②得，S2n?T2n?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) ③ ③式两边同乘以 q，得q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q2???a2n?1q2n?2) 所以(1?q)S2n?(1?q)T2n?2d(q?q???q32n?12dq(1?q2n) )?1?q2（3）证明：c1?c2?(ak1?al1)b1?(ak21?al2)b2?(akn?aln)bn=(k1?l1)db1?(k2?l2)db1q???(kn?ln)db1qn?1 因为d?0,b1?0，所以

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1 db1若kn?ln，取i=n， 若kn?ln，取i满足ki?li，且kj?lj，i?1?j?n

由（1）（2）及题设知，1?i?n，且①

c1?c2?(k1?l1)?(k2?l2)q???(kn?ln)qn?1 db1当ki?li时，ki?li??1，由q?n，ki?li?q?1,i?1,2?,i?1

即k1?l1?q?1，(k2?l2)q?q(q?1),?(ki?1?li?1)qi?2?q(q?1)i?2

c1?c21?qi?1i?2i?1所以?(q?1)?(q?1)q???(q?1)q?q?(q?1)?qi?1??1因此c1?c2?0

db11?q②

当ki?li时，同理可得

c1?c2??1,因此c1?c2?0 综上，c1?c2 db1【总结与思考】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力.

课程小结

1．等差数列

（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列