(word完整版)二次函数知识点总结和题型总结,推荐文档

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二 次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二 次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二 次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次 函数的解析式。

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

22 2. 关于y轴对称

y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

22 3. 关于原点对称

y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b2 y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；

2a2222y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．

22n?对称 5. 关于点?m，y?a?x?h??k22n?对称后，得到的解析式是关于点?m，y??a?x?h?2m??2n?k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物

线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

0?，B?x2，0?(x1?x2)，① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，其中的

x1，x2是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离

b2?4ac. AB?x2?x1?a② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0．

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶

点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实有两个交点 正、可零、可负 根 ??0抛物线与x轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实 只有一个交点 非负 数根 ??0抛物线与x轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根. 无交点 为正 例题：二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝

（写一个即可）

2. 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3. 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )

A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

4. 如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于

点C， 则△ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1

5. 已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离

49

平方等于为 ，则m的值为( )

25

A.－2 B.12 C.24 D.48 6. 已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

??0 抛物线与x轴十一、函数的应用

刹车距离二次函数应用??

?何时获得最大利润?最大面积是多少? 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 例题：二次函数应用 (一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。 （2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？