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二次函数知识点总结和题型总结

一、二次函数概念：

2b，c是常数，a?0）的函 1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a， 数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

2y?ax?bx?c的结构特征： 2. 二次函数

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，例题：

例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

练习、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，0? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，0? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax2?c的性质： 上加下减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，a?0 向上 ?0，c? y轴 y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，a?0 向下 ?0，c? y轴 y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：

左加右减。

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，0? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，0? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 4. y?a?x?h??k的性质：

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，a?0 向上 ?h，k? X=h y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，a?0 向下 ?h，k? X=h y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式

4ac-b22

y=ax+bx+c则最值为 ）

4a

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14

5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ 。

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标

2?h，k?；

⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位 平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】

平移|k|个单位 y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：

1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

12122

（1）y= x－2x+1 ； （2）y=－3x+8x－2； （3）y=－ x+x－4

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4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得 图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。 5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者

b?4ac?b2b4ac?b2?通过配方可以得到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点

c?、以及?0，c?关于画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??， ?．2a4a2a??当x??bb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当2a2a4ac?b2b． x??时，y有最小值

4a2a 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??b，顶点坐标为2a?b4ac?b2?bb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增??，?．当x??4a?2a2a?2a4ac?b2b大而减小；当x??时，y有最大值．

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