全国通用2020版高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列练习理

第1讲 等差数列与等比数列

「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列

01aandanmd. (1)－－1)通项公式：□＝)＋(＝＋(mn02nanaa≥2)． N＝(2)＋，(等差中项公式：□∈2nnn*

1

naannd??－??＋103nSna项和公式：□(3)

n1

1＋－1

＝前＋＝. 01nnm－1－

222．等比数列

n1

mn1

qaaqa. (1)＝等比数列的通项公式：□＝

1＋－1

n项和公式：等比数列的前 (3)＝□qqaaa?－－?1q??≠1＝?，) qq?－11－nmlkp均为正整数，，，3．等差数列的性质(0102mnlkaamnpaa时，有□特别地，当＋＝＝＋＋＋2＝，＋)(反之不一定成立；则□(1)若 aaa. 2＝＋ 03abkatbkt是非零常数)}(是□}，{}是等差数列，则{，等差数列． (2)若{＋□项的和”即－ ，□(3)等差数列“依次每－，…仍是等差数列． 0405SSmSSS，

Sa0706nSndanSS＝□时，等差数列，(4)＝□{－}，项数为2，当项数

为－1时，2SaSn100809SSanaSaS＝□(2－－1).(且其中＝□＝□表， 表示所有的偶数项之和，＝Sn－1 示所有的奇数项之和) nmlkp均为正整数，，4．等比数列的性质(，，)

0102mnlkmnaaaap时，有□特别地，当；(1)若＝＋＋＝＋2，则□)·＝·(反之不一定成立

aaa.

·＝ S03qnSS表示所有的奇表示所有的偶数项之和，其中．)＝□((2)当为偶数时，公比( S )

数项之和0504SSSmSSS，□≠0)成等比数列．，…(等比数列“依次－(3)，□－ 项的和”，即

中项公式：□＝∈·N((2)nnnnn11

1

， 等比 02aanan≥2)．

qna，?＝1???03?S.

2*

nklnmpmnnnnnmmmmm232

n奇

n奇奇偶n＋偶1奇

nnn偶中偶2－1奇偶

kmln2

pnm偶

奇偶奇

mmmmmm223

热点考向探究

考向1 等差数列、等比数列的运算 anS，且满项和为}中，其前在等差数列例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟){aSaSaS＝( ，

nn＋＋)

＝足若24＋，则＝12D．C．40 72 C 答案 954375

A．24 B．32

aaSSaSaaaaaa10＋4，∴∵解析 ，＋＝＝63＝12，，∴＋＝8＝＝24，∴＝＝2C. 故选＝40.aaaaaa项的和为的等比中项，则数列{5是}和(2)在等差数列{的前}中，已知，＝5

554437335594

nn6243

)

(

BA．15 ．20 D．15C．25 或25

D 答案

22

aadaaaaaddaa＋－·2，即()(－解析 设公差为，∵)为＝，的等比中项，∴(＝

335

424336246

adadSdddd15.

1＋＋11n或3，∴或＝2，∴)55(0－2)＝，∴25＝0或2.＝∴5－3＝5或，即＝＝5D.

故选naaaaaaa ，若2＝，则数列{．}的前项和为(3)已知正项数列{}满足－6＝________nnnnnn22

1

答案 3－aaaaaaaaaaaa为3＝{，∴}2∵解析 －6＝，∴(－3)(＋＝)0，∵>0，∴nnnnnnnnnnnn22

1＋＋1＋1＋1＋1nS1.

－3等比数列，且首项为2，公比为，∴＝3n n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求利用等差数列、等比数列的通项公式、前解另外两

个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意

求解最基本的量．

aSSaa＝( ＋中，) ＝9，＝21，则．在各项为正数的等比数列1{}A．144 B．121

n6523

D．C．169 148

A 答案

aa，＝9＋?? 由题意可知，解析 ?aaa，＋＝＋21??

21

321．

2?

1562

得)??

2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今

11

1

?qqaq，＝＝?9，?1＋2，＝－???? 3?qqaaa)．∴(1即＋或＋＝(舍去解

aqaq3＝＝?21?1＋，＋??????a27＝＝144.故选A.

1

4

有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )

17 B. A. 6367 D. C. 73C

答案aaaaaana＋＋4解析 设＋为第，等人的得金数，则{＝}为等差数列，由题设可知

nn93128

74aaaaaaaC.

92210569

dna∈N－定义：)在数列{＝}中，若满足，

1}中，，＝则＝为常数)， aaadaaaaa＝3，

称{已知在“等差比数列”{}为“等差比数列”． a＝( )

＝＋.＝3，故＋＝，＝1，而故选＋＝ (3．(2019·安徽太和第一中学高一调研 1 B．4×2019－A．4×2020－1 －C．4×20221 D．4×2019A

＋21＋*

33aannnnn1＋2022

nn3122020

22

22

答案 aaa??aaa是以1，∴＝2为首项，2为公差的等差数列，解析 ∵＝，∴＝1，＝3－??

＝·＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×2020－ aaa??an－1，＝2 ∴ aaaa1.∴故选A. 考向2 等差数列、等比数列的判定与证明 aaan1＋23

312

n12n＋1n2021202220222

202020212020

2

2S )．a＝(n≥2，n∈N项的和为}{a中，a＝1，其前nS，且满足2 例已知数列

n*

nnn1

1－

2S1?? 是等差数列；(1)求证：数列??

n

S??11111SSSS<＋…＋(2)证明：＋＋.

n

n321

n21＋2753．

nnnnnnn11

S1121??nSSSSSS，－＝，·－2＝证明 (1)当2≥2时，，所以数列－＝?? SSSS1－2??是以1为首项，2为公差的等差数列．

11nn－12－1)·2＝，(1)可知，＝＋( (2)由 SS1S＝. 所以 n12－1111SSSS ＋＋…＋＋ n172＋351111＋＋＝＋…＋

2－－1－

nnnn1－

n1

nn312

－＋1－＋ ＝×

nn?1＋－1??25×71×33×5?211111111????＋…＋－－

nn??33521－5127＋2111????－1<. ＝×

n??12＋22

(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方n的一次函数，但最后还得使用法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是定义才能说明其为等差数列． aaqaa≠0，，还要说明＝才能递推得出(2)证明数列{}为等比数列时，不能仅仅证明

nnn1＋1

a}为等比

数列． 数列中的各项均不为零，最后断定数列{n(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比

数列的中项公式．

a－41?? 是

aaa－

nnnnn1－2n4aaan∈N)．＝1， 4(2019·江西八所重点中学月联考)设数列{＝}满足(

*

nn11＋

a2－??abbnT. ＝的前，求数列{(2)设项和}

114－24111a＝，∴－＝－ (1)证明：∵＝－＝解

2－ aaaaaaa4222－244－－－－2－24－ a－41a＝1，

＝－为常数，又 2111??是以－1为首项，－∴为公差的等差数列． ＝－1，∴数列??

aa2－22－??

等差数列；求证：数列(1)??

nnnn2

n1＋

nnnnnnn1＋

1

n1．

n111＋????n－＝－(，－1) ＝－1(2)由(1)知，＋ ??a22－2n22a＝－，∴ ＝2 nn11＋＋n4 n12＋an4b＝＝＝ ∴ nnan???21＋－1??2－12?2 n21111????－， ＋＝1＋＝1

nn??nn1122＋－2－1??2?＋?21111111111????nnbbbTb＋…＋－＋－＋－1

－＋＋＝＋…∴＋＝＋＋＝ nn??1722－＋1335522n1????n－1 ＋＝， n??n1＋21＋2nnTbn. {＝}的前＋项和所以数列 n12＋ Sa 与考向3 数列中的关系问题naSSana )3(．项和，已知∈＝3，＝2例3 设是数列{N}的前＋a }(1)求数列{的通项公式；Tnbbna. 项和＝(2}－1)，求数列{(2)令的前SanaS ，＋23＋3，得2解 (1)当≥2时，由＝＝aSaaS ＝＝22－2两式相减，得，－aaa＝，∴＝3∴3. aanaaSa＋3＝9＝2，则时，＝3，＝＝23. ＋当3＝1 aa}是以3为首项，{3为公比的等比数列． ∴数列a.

＝＝3×3∴3bnan－1)×3(21)(1)，得. ＝(2＝－由(2)nT －1)×3＝1×3＋3×3＋5×3＋…＋(2，①∴nT，②＝1×3－1)×3＋…＋(23 ＋3×3＋5×3 ①－②，得nT －1)×3(22＝1×3＋2×3＋2×3＋…＋2×3－－n (2)＋…＋＋3＝＋2×(333－－1)×3??33－1n (2

nn2

n2

nn12－

nn312

nnnn*

nnnn1＋1nnnnnnnnn11－＋nnnnn1＋1－n＋1

nn1＋n211121

nnn1－

nnnnn32

nn＋1234nnn＋132

nnn＋132n1－2n1＋

－＋2×3＝－1)×3

n＋1

3－1．

n.

1＋

－2)×3－(2＝－6nnT＋－1)×3∴3.

＝(n nnaS的关系求通项公式的注意点与由 nnaSS－≥2(1)应重视分类讨论思想的应用，分两种情况讨论，特别注意＝1和＝n≥2.成立的前提是 SSaana也适合，则需统一表示(“合写”)．时，－ ＝＝推得1(2)由，当SSaana不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分时，－＝＝1推得(3)由，当nS，?＝1???a 写”)，

nnn－1

nnnn1－1

nnnn11－

1

即＝?nnSS.≥2－????nn1－

nnnn11＋

anSSaS＋，2. ，已知＝(2019·福建泉州5月质检)设数列{＝}的前2项和为a}为等比数列；{ (1)证明：λ??nTbaT≥10恒成立，求λ＝log项和为，数列的取值范围．，若 的前(2)记?? bb??aSaS＋2＝＝4(1)证明：由已知，得，＝，＝2 解 naS＋2时，，＝当 ≥2aaSSaaan≥2)．(＝＋2)＝2所以－，所以＝( ＋2)－(anaa∈N)，又 ＝2＝，所以2( aa}

nnnnn2

nn1＋

1121

nn1－

nnnnnnn1－1＋1＋n＋1*12n是首项为2，公比为2所以{的等比数列． nnnba. 可得＝＝2，所以(2)由(1)nn11λλ????－ ＝，则＝λ＝λ，＝λ10，所以因为＝

nn??nbbn1＋??1＋111111????????T－＋…＋－1－1＋－

nnn????11＋＋223nn＋110??λT≥10，从而λ≥， 因为≥ nn1＋n1?＋10?1????＋1≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞)．10

n??n

nn1＋

nn

真题押题

『真题模拟』 daaaa－2，满足，＝11．(2019·湖南六校高三联考)已知公差{≠0的等差数列，且}amnmnaan421

＝( )

＝成等比数列，若正整数10，，则满足－－nmA．10 B．20

6

D．5 或C．30 40 C 答案

22

daadada，＋，因为{}为等差数列，所以(35－－2)＝1)＝(1＋))(1解析 由题意，知(dmanddaC. ＝(－30.因为)≠0，解得故选＝3，从而＝－aaaa，＋且4＝3已知各项均为正数的等比数列{}的前4项和为15，2．(2019·全国卷Ⅲ)a)

n624

nmn135

＝( 则 8 A．16 B．2

3