高中数学优质教案1：2.3.2等差数列的前n项和(二)

人教版高中数学必修五

∴ （方法二） 设Sn＝an2＋bn. ∵ S10＝100，S100＝10， ∴ ，解得 ∴ ∴ 自主总结 【解题反思】如何求涉及等差数列前n项和的综合问题？ 答：涉及等差数列前n项和的综合问题，可以用基本量求解，也可以用待定系数法求解. 变式2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28. 【答案】1092

教 学 过 程 设 计 教学 环节 (一)新知探究 快速求解，自主回答. 教 师 活 动 学生活动 探究三. 等差数列前n项和的最值 问题3. 根据二次函数的图像和性质，讨论Sn何时有最大值？何时有最小值？ 小组讨论，展示成果. 5

人教版高中数学必修五

答：根据等差数列前n项和与二次函数的关系和二次函数的性质，（1）当d > 0时，Sn有最小值；（2）当d < 0时，Sn有最大值. 特别地，当 时，数列的前若干项为 的正数，把这些项相加即得{Sn}的最大值．当时，数列的前若干项为负数，把这些项相加即得 最小值； 例3. 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值． 【解析】（方法1） 由a1＝25，S17＝S9得17a1＋得d＝－2. ∴ Sn＝25n＋＝－(n－13)2＋169. d＝9a1＋d，解 同学乙板书解题过程，其他同学补充. 由二次函数的图像和性质，该数列前13项之和最大，最大值是169. （方法2） 由a1＝25，S17＝S9得17a1＋解得d＝－2. 由S17＝S9 得a10＋a11＋…＋a17＝0 ∴ a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. 又 a1＝25>0 ∴ a13>0，a14<0. ∴ S13最大，最大值为169. （方法3） 由a1＝25，S17＝S9得17a1＋得d＝－2. ∵ a1＝25>0 由又

6

d＝9a1＋d， d＝9a1＋d，解，得 ∴ 当n＝13时，Sn有最大值169. 人教版高中数学必修五

教 学 过 程 设 计 教学 环节 【解题反思】怎么求等差数列前n项和Sn的最值？ 答：(1)用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或求二次函数最值的方法求得． (2)在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次 函数图象求解，还常用邻项变号法来求解，即 ① 当a1>0，d<0时，满足取最大值； (一)新知探究 变式3. 已知等差数列{an}，a2＝3，a4＝－5，求等差数列{an}的前n项和Sn的最大值． 【解析】 ∵ 在等差数列{an}中，，a1＝a2－d＝7， 快速求解，自主回答. ② 当a1<0，d>0时，满足取最小值． 的项数n，使Sn的项数n，使Sn 小组讨论，展示成果. 教 师 活 动 学生活动 ∴ 又 (二)作业布置 (三)板书设计 ＝－2n2＋9n＝－2(n－)2＋. ∴ 当n＝2时，Sn的最大值是10. 完成“一课一练”. 可擦区 7